Первообра́зная. Красивое слово.) Для начала немного русского языка. Произносится это слово именно так, а не "первоОбразная" , как может показаться. Первообразная - базовое понятие всего интегрального исчисления. Любые интегралы – неопределённые, определённые (с ними вы познакомитесь уже в этом семестре), а также двойные, тройные, криволинейные, поверхностные (а это уже главные герои второго курса) – строятся на этом ключевом понятии. Имеет полный смысл освоить. Поехали.)

Прежде чем знакомиться с понятием первообразной, давайте в самых общих чертах вспомним самую обычную производную . Не углубляясь в занудную теорию пределов, приращений аргумента и прочего, можно сказать, что нахождение производной (или дифференцирование ) – это просто математическая операция над функцией . И всё. Берётся любая функция (допустим, f(x) = x 2 ) и по определённым правилам преобразовывается, превращаясь в новую функцию . И вот эта самая новая функция и называется производной .

В нашем случае, до дифференцирования была функция f(x) = x 2 , а после дифференцирования стала уже другая функция f’(x) = 2x .

Производная – потому, что наша новая функция f’(x) = 2x произошла от функции f(x) = x 2 . В результате операции дифференцирования. И причём именно от неё, а не от какой-то другой функции (x 3 , например).

Грубо говоря, f(x) = x 2 – это мама, а f’(x) = 2x – её любимая дочка.) Это понятно. Идём дальше.

Математики – народ неугомонный. На каждое своё действие стремятся найти противодействие. :) Есть сложение – есть и вычитание. Есть умножение – есть и деление. Возведение в степень – извлечение корня. Синус – арксинус. Точно также есть дифференцирование – значит, есть и… интегрирование .)

А теперь поставим такую интересную задачу. Есть у нас, допустим, такая простенькая функция f(x) = 1 . И нам надо ответить на такой вопрос:

Производная КАКОЙ функции даёт нам функцию f (x ) = 1?

Иными словами, видя дочку, с помощью анализа ДНК, вычислить, кто же её мамаша. :) Так от какой же исходной функции (назовём её F(x)) произошла наша производная функция f(x) = 1? Или, в математической форме, для какой функции F(x) выполняется равенство:

F’(x) = f(x) = 1?

Пример элементарный. Я старался.) Просто подбираем функцию F(x) так, чтобы равенство сработало. :) Ну как, подобрали? Да, конечно! F(x) = x. Потому, что:

F’(x) = x’ = 1 = f(x) .

Разумеется, найденную мамочку F(x) = x надо как-то назвать, да.) Знакомьтесь!

Первообразной для функции f (x ) называется такая функция F (x ), производная которой равна f (x ), т.е. для которой справедливо равенство F ’(x ) = f (x ).

Вот и всё. Больше никаких научных хитростей. В строгом определении добавляется ещё дополнительная фраза "на промежутке Х" . Но мы пока в эти тонкости углубляться не будем, ибо наша первоочередная задача – научиться находить эти самые первообразные.

В нашем случае как раз и получается, что функция F(x) = x является первообразной для функции f(x) = 1.

Почему? Потому что F’(x) = f(x) = 1 . Производная икса есть единица. Возражений нет.)

Термин "первообразная" по-обывательски означает "родоначальница", "родитель", "предок". Сразу же вспоминаем самого родного и близкого человека.) А сам поиск первообразной – это восстановление исходной функции по известной её производной . Иными словами, это действие, обратное дифференцированию . И всё! Сам же этот увлекательный процесс тоже называется вполне научно – интегрирование . Но об интегралах – позже. Терпение, друзья!)

Запоминаем:

Интегрирование - это математическая операция над функцией (как и дифференцирование).

Интегрирование - операция, обратная дифференцированию.

Первообразная - результат интегрирования.

А теперь усложним задачу. Найдём теперь первообразную для функции f(x) = x . То есть, найдём такую функцию F(x) , чтобы её производная равнялась бы иксу:

F’(x) = x

Кто дружит с производными, тому, возможно, на ум придёт что-то типа:

(x 2)’ = 2x.

Что ж, респект и уважуха тем, кто помнит таблицу производных!) Верно. Но есть одна проблемка. Наша исходная функция f(x) = x , а (x 2)’ = 2 x . Два икс. А у нас после дифференцирования должен получиться просто икс . Не катит. Но…

Мы с вами народ учёный. Аттестаты получили.) И со школы знаем, что обе части любого равенства можно умножать и делить на одно и то же число (кроме нуля, разумеется)! Так уж устроены. Вот и реализуем эту возможность себе во благо.)

Мы ведь хотим, чтобы справа остался чистый икс, верно? А двойка мешает… Вот и берём соотношение для производной (x 2)’ = 2x и делим обе его части на эту самую двойку:

Так, уже кое-чего проясняется. Идём дальше. Мы знаем, что любую константу можно вынести за знак производной. Вот так:

Все формулы в математике работают как слева направо, так и наоборот – справа налево. Это значит, что, с тем же успехом, любую константу можно и внести под знак производной:

В нашем случае спрячем двойку в знаменателе (или, что то же самое, коэффициент 1/2) под знак производной:

А теперь внимательно присмотримся к нашей записи. Что мы видим? Мы видим равенство, гласящее, что производная от чего-то (это что-то - в скобочках) равняется иксу.

Полученное равенство как раз и означает, что искомой первообразной для функции f(x) = x служит функция F(x) = x 2 /2 . Та, что стоит в скобочках под штрихом. Прямо по смыслу первообразной.) Что ж, проверим результат. Найдём производную:

Отлично! Получена исходная функция f(x) = x . От чего плясали, к тому и вернулись. Это значит, что наша первообразная найдена верно.)

А если f(x) = x 2 ? Чему равна её первообразная? Не вопрос! Мы с вами знаем (опять же, из правил дифференцирования), что:

3x 2 = (x 3)’

И, стало быть,

Уловили? Теперь мы, незаметно для себя, научились считать первообразные для любой степенной функции f(x)=x n . В уме.) Берём исходный показатель n , увеличиваем его на единичку, а в качестве компенсации делим всю конструкцию на n+1 :

Полученная формулка, между прочим, справедлива не только для натурального показателя степени n , но и для любого другого – отрицательного, дробного. Это позволяет легко находить первообразные от простеньких дробей и корней.

Например:

Естественно, n ≠ -1 , иначе в знаменателе формулы получается ноль, и формула теряет смысл.) Про этот особый случай n = -1 чуть позже.)

Что такое неопределённый интеграл? Таблица интегралов.

Скажем, чему равна производная для функции F(x) = x? Ну, единица, единица – слышу недовольные ответы… Всё верно. Единица. Но… Для функции G(x) = x+1 производная тоже будет равна единице :

Также производная будет равна единице и для функции x+1234 , и для функции x-10 , и для любой другой функции вида x+C , где С – любая константа. Ибо производная любой константы равна нулю, а от прибавления/вычитания нуля никому ни холодно ни жарко.)

Получается неоднозначность. Выходит, что для функции f(x) = 1 первообразной служит не только функция F(x) = x , но и функция F 1 (x) = x+1234 и функция F 2 (x) = x-10 и так далее!

Да. Именно так.) У всякой (непрерывной на промежутке ) функции существует не какая-то одна первообразная, а бесконечно много - целое семейство! Не одна мама или папа, а целая родословная, ага.)

Но! Всех наших родственников-первообразных объединяет одно важное свойство. На то они и родственники.) Свойство настолько важное, что в процессе разбора приёмов интегрирования мы про него ещё не раз вспомним. И будем вспоминать ещё долго.)

Вот оно, это свойство:

Любые две первообразные F 1 (x ) и F 2 (x ) от одной и той же функции f (x ) отличаются на константу:

F 1 (x ) - F 2 (x ) = С.

Кому интересно доказательство – штудируйте литературу или конспекты лекций.) Ладно, так уж и быть, докажу. Благо доказательство тут элементарное, в одно действие. Берём равенство

F 1 (x ) - F 2 (x ) = С

и дифференцируем обе его части. То есть, просто тупо ставим штрихи:

Вот и всё. Как говорится, ЧТД. :)

О чём говорит это свойство? А о том, что две различные первообразные от одной и той же функции f(x) не могут отличаться на какое-то выражение с иксом . Только строго на константу! Иными словами, если у нас есть график какой-то одной из первообразных (пусть это будет F(x)), то графики всех остальных наших первообразных строятся параллельным переносом графика F(x) вдоль оси игреков.

Посмотрим, как это выглядит на примере функции f(x) = x . Все её первообразные, как нам уже известно, имеют общий вид F(x) = x 2 /2+C . На картинке это выглядит как бесконечное множество парабол , получаемых из "основной" параболы y = x 2 /2 сдвигом вдоль оси OY вверх или вниз в зависимости от значения константы С .

Помните школьное построение графика функции y=f(x)+a сдвигом графика y=f(x) на "а" единиц вдоль оси игреков?) Вот и тут то же самое.)

Причём, обратите внимание: наши параболы нигде не пересекаются! Оно и естественно. Ведь две различные функции y 1 (x) и y 2 (x) неизбежно будут соответствовать двум различным значениям константы – С 1 и С 2 .

Поэтому уравнение y 1 (x) = y 2 (x) никогда не имеет решений:

С 1 = С 2

x ∊ ∅ , так как С 1 ≠ С2

А теперь мы плавненько подходим ко второму краеугольному понятию интегрального исчисления. Как мы только что установили, у всякой функции f(x) существует бесконечное множество первообразных F(x) + C, отличающихся друг от друга на константу. Это самое бесконечное множество тоже имеет своё специальное название.) Что ж, прошу любить и жаловать!

Что такое неопределённый интеграл?

Множество всех первообразных для функции f (x ) называется неопределённым интегралом от функции f (x ).

Вот и всё определение.)

"Неопределённый" - потому, что множество всех первообразных для одной и той же функции бесконечно . Слишком много различных вариантов.)

"Интеграл" – с подробной расшифровкой этого зверского слова мы познакомимся в следующем большом разделе, посвящённом определённым интегралам . А пока, в грубой форме, будем считать интегралом нечто общее, единое, целое . А интегрированием – объединение, обобщение , в данном случае переход от частного (производной) к общему (первообразным). Вот, как-то так.

Обозначается неопределённый интеграл вот так:

Читается так же, как и пишется: интеграл эф от икс дэ икс . Или интеграл от эф от икс дэ икс. Ну, вы поняли.)

Теперь разберёмся с обозначениями.

∫ - значок интеграла. Смысл тот же, что и штрих для производной.)

d - значок дифференциала. Не пугаемся! Зачем он там нужен – чуть ниже.

f(x) - подынтегральная функция (через "ы").

f(x)dx - подынтегральное выражение. Или, грубо говоря, "начинка" интеграла.

Согласно смыслу неопределённого интеграла,

Здесь F(x) – та самая первообразная для функции f(x) , которую мы так или иначе нашли сами. Как именно нашли - не суть. Например, мы установили, что F(x) = x 2 /2 для f(x)=x .

"С" - произвольная постоянная. Или, более научно, интегральная константа . Или константа интегрирования. Всё едино.)

А теперь вернёмся к нашим самым первым примерам на поиск первообразной. В терминах неопределённого интеграла можно теперь смело записать:

Что такое интегральная константа и зачем она нужна?

Вопрос очень интересный. И очень (ОЧЕНЬ!) важный. Интегральная константа из всего бесконечного множества первообразных выделяет ту линию, которая проходит через заданную точку.

В чём суть. Из исходного бесконечного множества первообразных (т.е. неопределённого интеграла ) надо выделить ту кривую, которая будет проходить через заданную точку. С какими-то конкретными координатами. Такое задание всегда и везде встречается при начальном знакомстве с интегралами. Как в школе, так и в ВУЗЕ.

Типичная задачка:

Среди множества всех первообразных функции f=x выделить ту, которая проходит через точку (2;2).

Начинаем думать головой… Множество всех первоообразных - это значит, сначала надо проинтегрировать нашу исходную функцию. То есть, икс (х). Этим мы занимались чуть выше и получили такой ответ:

А теперь разбираемся, что именно мы получили. Мы получили не одну функцию, а целое семейство функций. Каких именно? Вида y=x 2 /2+C . Зависящее от значения константы С. И вот это значение константы нам и предстоит теперь "отловить".) Ну что, займёмся ловлей?)

Удочка наша - семейство кривых (парабол) y=x 2 /2+C.

Константы - это рыбины. Много-много. Но на каждую найдётся свой крючок и приманка.)

А что же служит приманкой? Правильно! Наша точка (-2;2).

Вот и подставляем координаты нашей точки в общий вид первообразных! Получим:

y(2) = 2

Отсюда уже легко ищется C = 0 .

Что сиё означает? Это значит, что из всего бесконечного множества парабол вида y=x 2 /2+C только парабола с константой С=0 нам подходит! А именно: y=x 2 /2. И только она. Только эта парабола будет проходить через нужную нам точку (-2; 2). А в се остальные параболы из нашего семейства проходить через эту точку уже не будут. Через какие-то другие точки плоскости - да, а вот через точку (2; 2) - уже нет. Уловили?

Для наглядности вот вам две картинки - всё семейство парабол (т.е. неопределённый интеграл) и какая-то конкретная парабола , соответствующая конкретному значению константы и проходящая через конкретную точку:

Видите, насколько важно учитывать константу С при интегрировании! Так что не пренебрегаем этой буковкой "С" и не забываем приписывать к окончательному ответу.

А теперь разберёмся, зачем же внутри интегралов везде тусуется символ dx . Забывают про него студенты частенько… А это, между прочим, тоже ошибка! И довольно грубая. Всё дело в том, что интегрирование – операция, обратная дифференцированию. А что именно является результатом дифференцирования ? Производная? Верно, но не совсем. Дифференциал!

В нашем случае, для функции f(x) дифференциал её первообразной F(x) , будет:

Кому непонятна данная цепочка – срочно повторить определение и смысл дифференциала и то, как именно он раскрывается! Иначе в интегралах будете тормозить нещадно….

Напомню, в самой грубой обывательской форме, что дифференциал любой функции f(x) - это просто произведение f’(x)dx . И всё! Взять производную и помножить её на дифференциал аргумента (т.е. dx). То есть, любой дифференциал, по сути, сводится к вычислению обычной производной .

Поэтому, строго говоря, интеграл "берётся" не от функции f(x) , как принято считать, а от дифференциала f(x)dx! Но, в упрощённом варианте, принято говорить, что "интеграл берётся от функции" . Или: "Интегрируется функция f (x) ". Это одно и то же. И мы будем говорить точно так же. Но про значок dx при этом забывать не будем! :)

И сейчас я подскажу, как его не забыть при записи. Представьте себе сначала, что вы вычисляете обычную производную по переменной икс. Как вы обычно её пишете?

Вот так: f’(x), y’(x), у’ x . Или более солидно, через отношение дифференциалов: dy/dx. Все эти записи нам показывают, что производная берётся именно по иксу. А не по "игреку", "тэ" или какой-то там другой переменной.)

Так же и в интегралах. Запись ∫ f(x)dx нам тоже как бы показывает, что интегрирование проводится именно по переменной икс . Конечно, это всё очень упрощённо и грубо, но зато понятно, я надеюсь. И шансы забыть приписать вездесущее dx резко снижаются.)

Итак, что такое же неопределённый интеграл – разобрались. Прекрасно.) Теперь хорошо бы научиться эти самые неопределённые интегралы вычислять . Или, попросту говоря, "брать". :) И вот тут студентов поджидает две новости – хорошая и не очень. Пока начнём с хорошей.)

Новость хорошая. Для интегралов, так же как и для производных, существует своя табличка. И все интегралы, которые нам будут встречаться по пути, даже самые страшные и навороченные, мы по определённым правилам будем так или иначе сводить к этим самым табличным.)

Итак, вот она, таблица интегралов!

Вот такая вот красивая табличка интегралов от самых-самых популярных функций. Рекомендую обратить отдельное внимание на группу формул 1-2 (константа и степенная функция). Это – самые употребительные формулы в интегралах!

Третья группа формул (тригонометрия), как можно догадаться, получена простым обращением соответствующих формул для производных.

Например:

C четвёртой группой формул (показательная функция) – всё аналогично.

А вот четыре последние группы формул (5-8) для нас новые. Откуда же они взялись и за какие такие заслуги именно эти экзотические функции, вдруг, вошли в таблицу основных интегралов? Чем же эти группы функций так выделяются на фоне остальных функций?

Так уж сложилось исторически в процессе развития методов интегрирования . Когда мы будем тренироваться брать самые-самые разнообразные интегралы, то вы поймёте, что интегралы от перечисленных в таблице функций встречаются очень и очень часто. Настолько часто, что математики отнесли их к табличным.) Через них выражаются очень многие другие интегралы, от более сложных конструкций.

Ради интереса можно взять какую-нибудь из этих жутких формул и продифференцировать. :) Например, самую зверскую 7-ю формулу.

Всё нормально. Не обманули математики. :)

Таблицу интегралов, как и таблицу производных, желательно знать наизусть. Во всяком случае, первые четыре группы формул. Это не так трудно, как кажется на первый взгляд. Заучивать наизусть последние четыре группы (с дробями и корнями) пока не стоит. Всё равно поначалу будете путаться, где логарифм писать, где арктангенс, где арксинус, где 1/а, где 1/2а … Выход тут один - решать побольше примеров. Тогда таблица сама собой постепенно и запомнится, а сомнения грызть перестанут.)

Особо любознательные лица, присмотревшись к таблице, могут спросить: а где же в таблице интегралы от других элементарных "школьных" функций – тангенса, логарифма, "арков"? Скажем, почему в таблице ЕСТЬ интеграл от синуса, но при этом НЕТУ, скажем, интеграла от тангенса tg x ? Или нету интеграла от логарифма ln x ? От арксинуса arcsin x ? Чем они хуже? Но зато полно каких-то "левых" функций - с корнями, дробями, квадратами…

Ответ. Ничем не хуже.) Просто вышеназванные интегралы (от тангенса, логарифма, арксинуса и т.д.) не являются табличными . И встречаются на практике значительно реже, нежели те, что представлены в таблице. Поэтому знать наизусть , чему они равны, вовсе не обязательно. Достаточно лишь знать, как они вычисляются .)

Что, кому-то всё-таки невтерпёж? Так уж и быть, специально для вас!

Ну как, будете заучивать? :) Не будете? И не надо.) Но не волнуйтесь, все подобные интегралы мы обязательно найдём. В соответствующих уроках. :)

Что ж, теперь переходим к свойствам неопределённого интеграла. Да-да, ничего не поделать! Вводится новое понятие – тут же и какие-то его свойства рассматриваются.

Свойства неопределённого интеграла.

Теперь не очень хорошая новость.

В отличие от дифференцирования, общих стандартных правил интегрирования , справедливых на все случаи жизни , в математике нету. Это фантастика!

Например, вы все прекрасно знаете (надеюсь!), что любое произведение любых двух функций f(x)·g(x) дифференцируется вот так:

(f(x)·g(x))’ = f’(x)·g(x) + f(x)·g’(x) .

Любое частное дифференцируется вот так:

А любая сложная функция, какой бы накрученной она ни была, дифференцируется вот так:

И какие бы функции ни скрывались под буквами f и g, общие правила всё равно сработают и производная, так или иначе, будет найдена.

А вот с интегралами такой номер уже не пройдёт: для произведения, частного (дроби), а также сложной функции общих формул интегрирования не существует! Нету никаких стандартных правил! Вернее, они есть. Это я зря математику обидел.) Но, во-первых, их гораздо меньше, чем общих правил для дифференцирования. А во-вторых, большинство методов интегрирования, о которых мы будем разговаривать в следующих уроках, очень и очень специфические. И справедливы лишь для определённого, очень ограниченного класса функций. Скажем, только для дробно-рациональных функций . Или каких-то ещё.

А какие-то интегралы, хоть и существуют в природе, но вообще никак не выражаются через элементарные "школьные" функции! Да-да, и таких интегралов полно! :)

Именно поэтому интегрирование – гораздо более трудоёмкое и кропотливое занятие, чем дифференцирование. Но в этом есть и своя изюминка. Занятие это творческое и очень увлекательное.) И, если вы хорошо усвоите таблицу интегралов и освоите хотя бы два базовых приёма, о которых мы поговорим далее ( и ), то интегрирование вам очень понравится. :)

А теперь познакомимся, собственно, со свойствами неопределённого интеграла. Их всего ничего. Вот они.

Первые два свойства полностью аналогичны таким же свойствам для производных и называются свойствами линейности неопределённого интеграла . Тут всё просто и логично: интеграл от суммы/разности равен сумме/разности интегралов, а постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

А вот следующие три свойства для нас принципиально новые. Разберём их поподробнее. Звучат по-русски они следующим образом.

Третье свойство

Производная от интеграла равна подынтегральной функции

Всё просто, как в сказке. Если проинтегрировать функцию, а потом обратно найти производную от результата, то… получится исходная подынтегральная функция. :) Этим свойством всегда можно (и нужно) пользоваться для проверки окончательного результата интегрирования. Вычислили интеграл - продифференцируйте ответ! Получили подынтегральную функцию – ОК. Не получили – значит, где-то накосячили. Ищите ошибку.)

Конечно же, в ответе могут получаться настолько зверские и громоздкие функции, что и обратно дифференцировать их неохота, да. Но лучше, по возможности, стараться себя проверять. Хотя бы в тех примерах, где это несложно.)

Четвёртое свойство

Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению .

Тут ничего особенного. Суть та же самая, только dx на конце появляется. Согласно предыдущему свойству и правилам раскрытия дифференциала.

Пятое свойство

Интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной .

Тоже очень простое свойство. Им мы тоже будем регулярно пользоваться в процессе решения интегралов. Особенно – в и .

Вот такие вот полезные свойства. Занудствовать с их строгими доказательствами я здесь не собираюсь. Желающим предлагаю это сделать самостоятельно. Прямо по смыслу производной и дифференциала. Докажу лишь последнее, пятое свойство, ибо оно менее очевидно.

Итак, у нас есть утверждение:

Вытаскиваем "начинку" нашего интеграла и раскрываем, согласно определению дифференциала:

На всякий случай, напоминаю, что, согласно нашим обозначениям производной и первообразной, F ’(x ) = f (x ) .

Вставляем теперь наш результат обратно внутрь интеграла:

Получено в точности определение неопределённого интеграла (да простит меня русский язык)! :)

Вот и всё.)

Что ж. На этом наше начальное знакомство с таинственным миром интегралов считаю состоявшимся. На сегодня предлагаю закруглиться. Мы уже достаточно вооружены, чтобы идти в разведку. Если не пулемётом, то хотя бы водяным пистолетом базовыми свойствами и таблицей. :) В следующем уроке нас уже ждут простейшие безобидные примеры интегралов на прямое применение таблицы и выписанных свойств.

До встречи!

Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие "интеграл"

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о Вы найдете у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа "Интеграл"

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Спросите , и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Первообразная

Определение первообразной функции

• Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)

Можно прочесть двумя способами:

1. f производная функции F
2. F первообразная для функции f

Свойство первообразных

• Если F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С - произвольная постоянная.

Геометрическая интерпретация

• Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу .

Правила вычисления первообразных

1. Первообразная суммы равна сумме первообразных . Если F(x) - первообразная для f(x) , а G(x) - первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x) .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной . Если F(x) - первообразная для f(x) , и k - постоянная, то k·F(x) - первообразная для k·f(x) .
3. Если F(x) - первообразная для f(x) , и k, b - постоянные, причём k ≠ 0 , то 1/k · F(kx + b) - первообразная для f(kx + b) .

Запомни!

Любая функция F(x) = х 2 + С , где С - произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х .

• Например:

  F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 –3)" = 2x = f(x);

Связь между графиками функции и ее первообразной:

1. Если график функции f(x)>0 F(x) возрастает на этом промежутке.
2. Если график функции f(x)<0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
3. Если f(x)=0 , то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.

Неопределенный интеграл

Определение :

• Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x) - называют подынтегральной функцией;
• f(x) dx - называют подынтегральным выражением;
• x - называют переменной интегрирования;
• F(x) - одна из первообразных функции f(x);
• С - произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx .
3. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx .
4. Если k, b - постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac{1}{k} \cdot F(kx + b) + C .

Таблица первообразных и неопределенных интегралов

Функция f(x)	Первообразная F(x) + C	Неопределенные интегралы \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C	\int x{^m}dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C
f(x) = \frac{1}{x}	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac{dx}{x} = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e{^x }dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac{a^x}{l na} + C	\int a{^x }dx = \frac{a^x}{l na} + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac{1}{\sin {^2} x}	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac {dx}{\sin {^2} x} = -\ctg x + C
f(x) = \frac{1}{\cos {^2} x}	F(x) = \tg x + C	\int \frac{dx}{\sin {^2} x} = \tg x + C
f(x) = \sqrt{x}	F(x) =\frac{2x \sqrt{x}}{3} + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{x}}	F(x) =2\sqrt{x} + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1-x^2}}	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2}}=\arcsin x + C
f(x) =\frac{1}{ \sqrt{1+x^2}}	F(x)=\arctg x + C	\int \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2}}=\arctg x + C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2-x^2}}	F(x)=\arcsin \frac {x}{a}+ C	\int \frac{dx}{ \sqrt{a^2-x^2}} =\arcsin \frac {x}{a}+ C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{a^2+x^2}}	F(x)=\arctg \frac {x}{a}+ C	\int \frac{dx}{ \sqrt{a^2+x^2}} = \frac {1}{a} \arctg \frac {x}{a}+ C
f(x) =\frac{1}{ 1+x^2}	F(x)=\arctg + C	\int \frac{dx}{ 1+x^2}=\arctg + C
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{x^2-a^2}} (a \not= 0)	F(x)=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C	\int \frac{dx}{ \sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{2a}l n \lvert \frac {x-a}{x+a} \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac{1}{\sin x}	F(x)= l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C	\int \frac {dx}{\sin x} = l n \lvert \tg \frac{x}{2} \rvert + C
f(x)=\frac{1}{\cos x}	F(x)= l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C	\int \frac {dx}{\cos x} = l n \lvert \tg (\frac{x}{2} +\frac{\pi}{4}) \rvert + C

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.

\int_{a}^{b} f(x) dx =F(x)|_{a}^{b} = F(b) - F(a)

где F(x) - первообразная для f(x)

То есть, интеграл функции f (x) на интервале равен разности первообразных в точках b и a .

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f , осью Ox и прямыми x = a и x = b .

Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:

S= \int_{a}^{b} f(x) dx

Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.

Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.

Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.

Пример №1 .

Пусть (f(х))’ = 3х 2 . Найдем f(х).

Решение:

Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3 , ибо

(х 3)’ = 3х 2 Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно. В качестве f(х) можно взять f(х)= х 3 +1 f(х)= х 3 +2 f(х)= х 3 -3 и др.

Т.к. производная каждой из них равно 3х 2 . (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число.

Любую из найденных функций f(х) называют первообразной для функции F`(х)= 3х 2

Определение.

Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3х 2 на (- ∞ ; ∞). Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х 3)`=3х 2

Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных.

Пример №2.

Функция есть первообразная для всех на промежутке (0; +∞), т.к. для всех ч из этого промежутка, выполняется равенство.

Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:

Признак постоянства функции. Если F"(х) = 0 на некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке.

Доказательство.

Зафиксируем некоторое x 0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число c, заключенное между х и x 0 , что

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

По условию F’ (с) = 0, так как с ∈1, следовательно,

F(x) - F(x 0) = 0.

Итак, для всех х из промежутка I

т е. функция F сохраняет постоянное значение.

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называютобщим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных ):

Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F(x) + C, (1) где F (х) - одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а С - произвольная постоянная.

Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной:

1. какое бы число ни поставить в выражение (1) вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2. какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство

Доказательство.

1. По условию функция F - первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F"(х)= f (х) для любого х∈1, поэтому (F(x) + C)" = F"(x) + C"=f(x)+0=f(x), т. е. F(x) + C - первообразная для функции f.
2. Пусть Ф (х) - одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф"(x) = f (х) для всех x∈I.

Тогда (Ф(x) - F (x))" = Ф"(х)-F’ (х) = f(x)-f(x)=0.

Отсюда следует в. силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) - F(х) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.

Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(х) - F(x)=С, что и требовалось доказать. Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу

Вопросы к конспектам

Функция F(x) является первообразной для функции f(x). Найдите F(1), если f(x)=9x2 - 6x + 1 и F(-1) = 2.

Найдите все первообразные для функции

Для функции (x) = cos2 * sin2x, найдите первообразную F(x), если F(0) = 0.

Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку

Первообразная.

Первообразную легко понять на примере.

Возьмем функцию у = х 3 . Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х 3 является 3х 2:

(х 3)" = 3х 2 .

Следовательно, из функции у = х 3 мы получаем новую функцию: у = 3х 2 .
Образно говоря, функция у = х 3 произвела функцию у = 3х 2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.

То есть: функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 .

Определение первообразной:

В нашем примере (х 3)" = 3х 2 , следовательно у = х 3 – первообразная для у = 3х 2 .

Интегрирование.

Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.

Пример-пояснение :

у = 3х 2 + sin x .

Решение :

Мы знаем, что первообразной для 3х 2 является х 3 .

Первообразной для sin x является –cos x .

Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:

у = х 3 + (–cos x ),

у = х 3 – cos x .

Ответ :
для функции у = 3х 2 + sin x у = х 3 – cos x .

Пример-пояснение :

Найдем первообразную для функции у = 2 sin x .

Решение :

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .

Следовательно, для функции у = 2 sin x первообразной является функция у = –2 cos x .
Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.

Пример-пояснение :

Найдем первообразную для функции y = sin 2x .

Решение :

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .

Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x :

1
y = - · (–cos 2x ),
2

cos 2x
y = – ----
2

cos 2x
Ответ : для функции y = sin 2x первообразной является функция y = – ----
2

(4)

Пример-пояснение .

Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x .

Для этой функции все первообразные имеют вид:

cos 2x
y = – ---- + C .
2

Пояснение .

Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x )равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1" = 0.

В таком же порядке читаются и остальные строчки.

Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:

(-cos x )" = sin x

Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.

Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x .

Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x .