Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла и знакомиться с его геометрическим смыслом.

Двойной интеграл численно равен площади плоской фигуры (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице: .

Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры , ограниченной линиями . Для определённости считаем, что на отрезке . Площадь данной фигуры численно равна:

Изобразим область на чертеже:

Выберем первый способ обхода области:

Таким образом:

И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности . Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:

Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции . Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел

2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:

Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула – это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью «обычного» определённого интеграла! Смотрите урок Вычисление площади с помощью определенного интеграла , там она на каждом шагу!

То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с помощью определённого интеграла! Фактически это одно и тоже!

Соответственно, никаких трудностей возникнуть не должно! Я рассмотрю не очень много примеров, так как вы, по сути, неоднократно сталкивались с данной задачей.

Пример 9

Решение: Изобразим область на чертеже:

Выберем следующий порядок обхода области:

Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход области, поскольку в первом параграфе были приведены очень подробные разъяснения.

Таким образом:

Как я уже отмечал, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду придерживаться и я:

1) Сначала с помощью формулы Ньютона-Лейбница разбираемся с внутренним интегралом:

2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:

Пункт 2 – фактически нахождение площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла.

Ответ:

Вот такая вот глупая и наивная задача.

Любопытный пример для самостоятельного решения:

Пример 10

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями , ,

Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.

В Примерах 9-10 значительно выгоднее использовать первый способ обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.

Но в ряде случаев более эффективен второй способ обхода области, и в заключение курса молодого ботана рассмотрим ещё пару примеров на эту тему:

Пример 11

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями ,

Решение: нас с нетерпением ждут две параболы с бзиком, которые лежат на боку. Улыбаться не нужно, похожие вещи в кратных интегралах встречаются частенько.

Как проще всего сделать чертёж?

Представим параболу в виде двух функций:
– верхняя ветвь и – нижняя ветвь.

Аналогично, представим параболу в виде верхней и нижней ветвей.

Далее рулит поточечное построение графиков, в результате чего получается вот такая причудливая фигура:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Что будет, если мы выберем первый способ обхода области? Во-первых, данную область придётся разделить на две части. А во-вторых, мы будем наблюдать сию печальную картину: . Интегралы, конечно, не сверхсложного уровня, но… существует старая математическая присказка: кто с корнями дружен, тому зачёт не нужен.

Поэтому из недоразумения, которое дано в условии, выразим обратные функции:

Обратные функции в данном примере обладают тем преимуществом, что задают сразу всю параболу целиком без всяких там листьев, желудей веток и корней.

Согласно второму способу, обход области будет следующим:

Таким образом:

Как говорится, ощутите разницу.

1) Расправляемся с внутренним интегралом:

Результат подставляем во внешний интеграл:

Интегрирование по переменной «игрек» не должно смущать, была бы буква «зю» – замечательно бы проинтегрировалось и по ней. Хотя кто прочитал второй параграф урока Как вычислить объем тела вращения , тот уже не испытывает ни малейшей неловкости с интегрированием по «игрек».

Также обратите внимание на первый шаг: подынтегральная функция является чётной, а отрезок интегрирования симметричен относительно нуля. Поэтому отрезок можно споловинить, а результат – удвоить. Данный приём подробно закомментирован на уроке Эффективные методы вычисления определённого интеграла .

Что добавить…. Всё!

Ответ:

Для проверки своей технике интегрирования можете попробовать вычислить . Ответ должен получиться точно таким же.

Пример 12

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями

Это пример для самостоятельного решения. Интересно отметить, что если вы попробуете использовать первый способ обхода области, то фигуру придётся разделить уже не на две, а на три части! И, соответственно, получится три пары повторных интегралов. Бывает и такое.

Мастер класс подошел к завершению, и пора переходить на гроссмейстерский уровень – Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений . Постараюсь во второй статье так не маньячить =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Изобразим область на чертеже:

Выберем следующий порядок обхода области:

Таким образом:
Перейдём к обратным функциям:


Таким образом:
Ответ:

Пример 4: Решение: Перейдём к прямым функциям:


Выполним чертёж:

Изменим порядок обхода области:

Ответ:

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции.
Решение. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга (сектора, сегмента). Используя геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.

Разобьем отрезок [а; b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Проведем через эти точки прямые, параллельные оси у. Тогда заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей, на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

Рассмотрим отдельно k-ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок . Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(x k) (см. рисунок). Площадь прямоугольника равна \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), где \(\Delta x_k \) - длина отрезка ; естественно считать составленное произведение приближенным значением площади k-го столбика.

Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади S n ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (см. рисунок):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_{n-1})\Delta x_{n-1} \)
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х 0 , b = x n ; \(\Delta x_0 \) - длина отрезка , \(\Delta x_1 \) - длина отрезка , и т.д; при этом, как мы условились выше, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_{n-1} \)

Итак, \(S \approx S_n \), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (S n):
$$ S = \lim_{n \to \infty} S_n $$

Задача 2 (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [а; b].
Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.
1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени t k . Итак, мы считаем, что v = v(t k).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени , это приближенное значение обозначим s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Найдем приближенное значение перемещения s:
\(s \approx S_n \) где
\(S_n = s_0 + \dots + s_{n-1} = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_{n-1}) \Delta t_{n-1} \)
5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (S n):
$$ s = \lim_{n \to \infty} S_n $$

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

Понятие определенного интеграла

Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_{n-1})\Delta x_{n-1} $$
3) вычисляем $$ \lim_{n \to \infty} S_n $$

В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).

Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
здесь S - площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так:

Формула Ньютона - Лейбница

Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?

Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости - обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) - s(a). В итоге получаем:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
где s(t) - первообразная для v(t).

В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
где F(x) - первообразная для f(x).

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона - Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643-1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646- 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

На практике вместо записи F(b) - F(a) используют запись \(\left. F(x)\right|_a^b \) (ее называют иногда двойной подстановкой ) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона - Лейбница в таком виде:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.

Опираясь на формулу Ньютона - Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство \(g(x) \leq f(x) \). Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:
\(S = S_{ABCD} = S_{aDCb} - S_{aABb} = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство \(g(x) \leq f(x) \), вычисляется по формуле
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$

Пример1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х + 2у – 4 = 0, у = 0, х = -3, и х = 2

Выполним построение фигуры (см. рис.) Строим прямую х + 2у – 4 = 0 по двум точкам А(4;0) и В(0;2). Выразив у через х, получим у = -0,5х + 2. По формуле (1), где f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, находим

S = = [-0,25=11,25 кв. ед

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 и у = 0.

Решение. Выполним построение фигуры.

Построим прямую х – 2у + 4 = 0: у = 0, х = - 4, А(-4; 0); х = 0, у = 2, В(0; 2).

Построим прямую х + у – 5 = 0: у = 0, х = 5, С(5; 0), х = 0, у = 5, D(0; 5).

Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:

х = 2, у = 3; М(2; 3).

Для вычисления искомой площади разобьем треугольник АМС на два треугольника АМN и NМС, так как при изменении х от А до N площадь ограничена прямой, а при изменении х от N до С - прямой

Для треугольника АМN имеем: ; у = 0,5х + 2, т. е. f(x) = 0,5х + 2, a = - 4, b = 2.

Для треугольника NМС имеем: y = - x + 5, т. е. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Вычислив площадь каждого из треугольников и сложив результаты, находим:

кв. ед.

кв. ед.

9 + 4, 5 = 13,5 кв. ед. Проверка: = 0,5АС = 0,5 кв. ед.

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = x 2 , прямыми x = 2 и x = 3и осью Ох(см. рис.) По формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции

= = 6кв. ед.

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = - x 2 + 4 и у = 0

Выполним построение фигуры. Искомая площадь заключена между параболой у = - x 2 + 4 и осью Ох.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая у = 0, найдем х = Так как данная фигура симметрична относительно оси Оу, то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси Оу, и полученный результат удвоим: = +4x]кв. ед. 2 = 2 кв. ед.

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Здесь требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной верхней ветвью параболыy 2 = x, осью Ох и прямыми x = 1иx = 4 (см. рис.)

По формуле (1), где f(x) = a = 1 и b = 4 имеем = (= кв. ед.

Пример 6 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох (см. рис.).

Имеем - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 кв. ед.

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = - 6х, у = 0 и х = 4.

Фигура расположена под осью Ох (см. рис.).

Следовательно, её площадь находим по формуле (3)

= =

Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = и х = 2. Кривую y = построим по точкам (см. рис.). Таким образом, площадь фигуры находим по формуле (4)

Пример 9 .

х 2 + у 2 = r 2 .

Здесь требуется вычислить площадь, ограниченную окружностью х 2 + у 2 = r 2 , т. е. площадь круга радиуса r с центром в начале координат. Найдем четвертую часть этой площади, взяв пределы интегрирования от 0

доr; имеем: 1 = = [

Следовательно, 1 =

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= х 2 и у = 2х

Данная фигура ограничена параболой у= х 2 и прямой у = 2х (см. рис.) Для определения точек пересечения заданных линий решим систему уравнений:х 2 – 2х = 0 х = 0 и х = 2

Используя для нахождения площади формулу (5), получим

= площадь криволинейной трапеции, образованной функцией f, равна приращению первообразной этой функции:

Задание 1:

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции: f(x) = х 2 и прямыми у = 0, х = 1, х = 2.

Решение: (по алгоритму слайд 3 )

Начертим график функции и прямые

Найдём одну из первообразных функции f(x) = х 2 :

Самопроверка по слайду

Интеграл

Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную функцией f на отрезке [a; b ]. Разобьём этот отрезок на несколько частей. Площадь всей трапеции разобьётся на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций. (слайд 5) . Каждую такую трапецию можно приближённо считать прямоугольником. Сумма площадей этих прямоугольников даёт приближённое представление о всей площади криволинейной трапеции. Чем мельче мы разобьём отрезок [a; b ], тем точнее вычислим площадь.

Запишем эти рассуждения в виде формул.

Разделим отрезок [a; b ] на n частей точками х 0 =а, х1,… ,хn = b. Длину k- го обозначим через хk = xk – xk-1 . Составим сумму

Геометрически эта сумма представляет собой площадь фигуры, заштрихованной на рисунке (щ.м .)

Суммы вида называются интегральными суммами для функции f . (щ.м.)

Интегральные суммы дают приближённое значение площади. Точное значение получается при помощи предельного перехода. Представим, что мы измельчаем разбиение отрезка [a; b ] так, что длины всех маленьких отрезков стремятся к нулю. Тогда площадь составленной фигуры будет приближаться к площади криволинейной трапеции. Можно сказать, что площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральных сумм, Sк.т. (щ.м.) или интегралу, т. е.,

Определение:

Интегралом функции f (х) от a до b называется предел интегральных сумм

= (щ.м.)

Формула Ньютона- Лейбница.

Помним, что предел интегральных сумм равен площади криволинейной трапеции, значит можно записать:

Sк.т. =(щ.м.)

С другой стороны, площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

S к. т.(щ.м.)

Сравнивая эти формулы, получим:

= (щ.м.)

Это равенство называется формулой Ньютона- Лейбница.

Для удобства вычислений формулу записывают в виде:

= = (щ.м.)

Задания: (щ.м.)

1. Вычислить интеграл по формуле Ньютона- Лейбница: (проверяем по слайду 5 )

2. Составить интегралы по чертежу (проверяем по слайду 6 )

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х 3 , у = 0, х = 1, х = 2. (Слайд 7 )

Нахождение площадей плоских фигур (слайд 8 )

Как найти площадь фигур, которые не являются криволинейными трапециями?

Пусть даны две функции, графики которых вы видите на слайде. (щ.м.) Необходимо найти площадь закрашенной фигуры. (щ.м.) . Фигура, о которой идёт речь, является криволинейной трапецией? А как можно найти её площадь, пользуясь свойством аддитивности площади? Рассмотреть две криволинейные трапеции и из площади одной из них вычесть площадь другой (щ.м.)

Составим алгоритм нахождения площади по анимации на слайде:

1. Построить графики функций
2. Спроецировать точки пересечения графиков на ось абсцисс
3. Заштриховать фигуру, полученную при пересечении графиков
4. Найти криволинейные трапеции, пересечение или объединение которых есть данная фигура.
5. Вычислить площадь каждой из них
6. Найти разность или сумму площадей

Устное задание: Как получить площадь заштрихованной фигуры (рассказать при помощи анимации, слайд 8 и 9)

Домашнее задание: Проработать конспект, №353 (а), № 364 (а).

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа: учебник для 9-11 классов вечерней (сменной) школы/ под ред. Г.Д. Глейзера. - М: Просвещение, 1983.
2. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для 10-11 кл.сред.шк./ Башмаков М.И. - М: Просвещение, 1991.
3. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования/ М.И. Башмаков. - М: Академия, 2010.
4. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ А.Н.Колмогоров. - М: Просвещение, 2010.
5. Островский С.Л. Как сделать презентацию к уроку?/ C.Л. Островский. – М.: Первое сентября, 2010.

а)

Решение.

Первый и важнейший момент решения - построение чертежа .

Выполним чертеж:

Уравнение y=0 задает ось «иксов»;

- х=-2 и х=1 - прямые, параллельные оси Оу;

- у=х 2 +2 - парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0;2).

Замечание. Для построения параболы достаточно найти точки ее пересечения с координатными осями, т.е. положив х=0 найти пересечение с осью Оу и решив соответствующее квадратное уравнение, найти пересечение с осью Ох .

Вершину параболы можно найти по формулам:

Можно построить линии и поточечно.

На отрезке [-2;1] график функции y=x 2 +2 расположен над осью Ox , поэтому:

Ответ: S =9 кв.ед.

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже - ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка - в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью Ох?

b) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=-e x , x=1 и координатными осями.

Решение.

Выполним чертеж.

Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью Ох , то её площадь можно найти по формуле:

Ответ: S=(e-1) кв.ед.»1,72 кв.ед.

Внимание! Не следует путать два типа задач :

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости.

с) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у=2х-х 2 , у=-х.

Решение.

Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой Это можно сделать двумя способами. Первый способ - аналитический.

Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования а=0 , верхний предел интегрирования b=3 .

Строим заданные линии: 1. Парабола - вершина в точке (1;1); пересечение с осью Ох - точки(0;0) и (0;2). 2. Прямая - биссектриса 2-го и 4-го координатных углов. А теперь Внимание! Если на отрезке [a;b ] некоторая непрерывная функция f(x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g(x) , то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле: . И не важно , где расположена фигура - над осью или под осью, а важно , какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой- НИЖЕ. В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть

Можно построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными).

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ: S =4,5 кв.ед.