Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.
Круги - геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

Решение

Чертим два множества таким образом:

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.
15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».
Получаем:

Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги».

Любимые мультфильмы

Решение

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Получаем:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

«Мир музыки»

Решение

Изобразим эти множества на кругах Эйлера.

Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:

Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.

Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Решение

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно,
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон.
Ответ. 8 книг прочитал только Рон.

Пионерский лагерь

Решение

Изобразим множества следующим образом:

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.
Ответ. 5 человек заняты только спортом.

Экстрим

Решение

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

"Обитаемый остров" и "Стиляги"

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Любимые мультфильмы

Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

«Мир музыки»

В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

Пионерский лагерь

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Экстрим

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

1 ВОПРОС: Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x ∈ Х (∈ - принадлежит). Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ - содержится).

Определение 1 (определение равенства множеств). Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из x  A следует x  B и обратно, из x  B следует x  A.

Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

(А=В ):=  x ((x  A )  (x  B )),

это означает, что для любого объекта x соотношения x A и x B равносильны.

Здесь  – квантор всеобщности ( x читается как "для каждого x ").

Подмножество

Определение: Множество Х является подмножеством Y, если любой элемент множества Х принадлежит множеству Y. Это еще называется нестрогим включением .Некоторые свойства подмножества:

1. ХХ - рефлективность

2. X  Y & YZ  X  Z - транзитивность

3.   X т.е. пустое множество является подмножеством любого множества.Универсальное множествоОпределение: Универсальное множество - это такое множество, которое состоит из всех элементов, а так же подмножеств множества объектов исследуемой области, т.е.

1. Если М  I , то М  I

2. Если М  I , то Ώ(М)  I , где под Ώ(М) - понимаются все возможные подмножества М, или Булеан М.

Универсальное множество обычно обозначается I .

Универсальное множество может выбираться самостоятельно, в зависимости от рассматриваемого множества, и решаемых задач.

Способы задания множеств:

1. путем перечисления его элементов. Обычно перечислением задают конечные множества.

2. путем описания свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества. Это свойство называетсяхарактеристическим свойством , а такой способ задания множества описанием . Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества. Если мы задаем множество каким-либо свойством, потом может оказаться, что этим свойством обладает всего лишь один объект или вообще такого объекта нет. Данный факт может быть совсем не очевиден.

Тема 2.3 Операции над множествами.

Теперь определим операции над множествами.

1. Пересечение множеств.

Определение: Пересечением множеств Х и У называется множество, состоящее из всех тех, и только тех элементов, которые принадлежат и множеству Х и множеству У.

Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} пересечением {2,4}

Определение: Множества называются непересекающимися, если не имеют общих элементов, т.е. их пересечение равно пустому множеству.

Например : непересекающимися множествами являются множества отличников группы и неуспевающих.

Данную операцию можно распространить и на большее чем два число множеств. В этом случае это будет множество элементов, принадлежащих одновременно всем множествам.

Свойства пересечения:

1. X∩Y = Y∩X - коммутативности

2. (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z - ассоциативности

3. X∩ = 

4. X∩I = Х

2. Объединение множеств

Определение: Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х или У.

Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} объединением {1,2,3,4,6}

Данную операцию можно распространить и на большее чем два число множеств. В этом случае это будет множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Свойства объединения:

1. XUY= YUY- коммутативности

2. (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ - ассоциативности

4. XUI = I

Из свойств операций пересечения и объединения видно, что пустое множество аналогично нулю в алгебре чисел.

3. Разность множеств

Определение: Данная операция, в отличие от операций пересечения и объединения определена только для двух множеств. Разностью множеств Х и У называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат Х и не принадлежат У.

Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} разность {1,3}

Как мы уже видели, роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. Определим множество, которое будет играть роль единицы в алгебре множеств

4. Дополнение множества

Дополнением множества Х называется разность I и Х.

Свойства дополнения:

1. Множество Х и его дополнение не имеют общих элементов

2.Любой элемент I принадлежит или множеству Х или его дополнению.

2 ВОПРОС Множества чисел

Натуральные числа − числа, используемые при счете (перечислении) предметов: N={1,2,3,…}

Натуральные числа с включенным нулем − числа, используемые для обозначения количества предметов: N0={0,1,2,3,…}

Целые числа − включают в себя натуральные числа, числа противоположные натуральным(т.е. с отрицательным знаком) и ноль. Целые положительные числа : Z+=N={1,2,3,…} Целые отрицательные числа : Z−={…,−3,−2,−1} Z=Z−∪{0}∪Z+={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}

Рациональные числа − числа, представляемые в виде обыкновенной дроби a/b, где a и b − целые числа и b≠0. Q={x∣x=a/b,a∈Z,b∈Z,b≠0} При переводе в десятичную дробь рациональное число представляется конечной или бесконечной периодической дробью.

Иррациональные числа − числа, которые представляются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Действительные (вещественные) числа − объединение рациональных и иррациональных чисел: R

Комплексные числа C={x+iy∣x∈Rиy∈R}, где i − мнимая единица.

Модуль действительного числа и свойства

Модуль действительного числа - это абсолютная величина этого числа.

Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.

Модуль числа a обозначается |a| . Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0 .

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

• Объединением или суммой n множеств A 1 , A 2 , …, A n называется множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из этих n множеств: A = A 1 U A 2 U… U A n где знак U обозначает операцию объединения множеств.

Формально операция объединения множеств определяется следующим образом:

A = {x / x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ … ∨ x ∈ A n },

где ∨ — логический знак, обозначающий союз ИЛИ. Читается эта запись так: множество А — это все те значения х, которые принадлежат множеству А 1 , или множеству А 2 , или множеству А 3 и так далее до множества А п.

Для выполнения операции объединение множеств имеется калькулятор .

Например , пусть даны множества: A 1 = {a, b, c}; A 2 = {4}; A 3 = {b, 54}. Применив к ним операцию объединения, получим новое множество A = A 1 U A 2 U A 3 = {a,b,c,4,54}. Заметим, что b ∈ A 1 и b ∈ A 3 , однако в множество A элемент b входит только один раз (вспомним: все элементы множества должны быть различными).

На () объединение множеств обозначают сплошной штриховкой областей, соответствующих этим множествам:

• На рис. 5 заштрихована область множества Q U P ,
• На рис. 6 показана штриховкой область множества (P U Q) U R .
• На рис. 7 изображено три множества P, Q и R . Штриховкой отмечено множество Q U R.

Операция объединения множеств обладает следующими свойствами:

а) объединение коммутативно:

A U B = B U A ;

A U B U C = A U C U B = B U A U C и т.д.;

б) объединение ассоциативно:

(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.

(Благодаря ассоциативности при записи нескольких множеств, соединенных знаком объединения, скобки можно не использовать) ;

в) если B ⊆ A или B ⊂ A, то A U B = A.

На рис. 8 приведена диаграмма Венна для случая, когда B ⊂ A.

Штриховкой отмечена область множества A, которая

одновременно относится и к множеству A U B .

• Из свойства « в » следует, что:

1. A U A = A ;
2. A U A = ∅ ;
3. A U I = I.

Упражнения

1. Найдите элементы множества A U B , если

A = {a, b, c}; B = {b, c, d}.

2. Найдите элементы множеств: сначала A, затем — A 1 , после этого — A 2 (числа упорядочить по возрастанию), если A = {x / x ∈ I ∧(x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2); A 1 ⊂ I — множество чисел, кратных трем; A 2 ⊂ I — множество чисел, кратных четырем }; I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

3. Дано три множества A, B, C. Известно, что a ∈ A. Укажите все верные утверждения:

а) a ⊂ B; е) {a} ∈ B;

б) a ∈ A U B ; ж) {a}⊆ A U B ;

в) a ⊂ B U C ; з) {a} ∈ B U C ;

г) a ∈ A U B U C; и) {a}⊆ A U B U C

д) {a} ⊆ A

Ответы: б), г), д), ж), и) - истинно.

4. На рис. 9 приведена диаграмма Венна для трех множеств. Найдите элементы множеств A U B , затем — A U C.

5. Перечислите элементы множества M (рис. 9):

M = {x / x ∉ A ∧ x ∈ I}.

6. Перечислите элементы множества N (рис. 9):

N = {x / x ∈ A U B , x > 4}.

7. Перечислите элементы множества K, если

K = {x / x ∈ A U B U C , x — четное число }(рис. 9).

8. Перечислите элементы множества T (рис. 9):

T = {x / x ∉ A U C, x ∈ I }.

9. Найдите кардинальное число множества A U B ,

если A = {a, b, c}; B = {6, 7, 8, 9}.

Ответ: | A U B| = 7

10. Найдите кардинальные числа множеств

A U B, A U C, B U C по диаграмме Венна (рис. 10).

11. Найдите кардинальное число множества A U B , если

A = {1, 2, 3, 4}; B = {2, 3, 4, 5}.

Ответ: | A U B| = 5

12. Найдите кардинальное число множества A U B , если A = {∅}; B = {a, b, c}.

Ответ: | A U B| = 4

13. Найдите кардинальное число множества B(P) U B(Q), где

P = { a, b, c }; Q = { b, c, d }.

Ответ: |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B{ a, b, c, d }| = 2 4 = 16

14. Найдите кардинальное число множества B(K) U B(M), где

K = { x / x — четное натуральное число, x ≤ 8};

M = { x / x — нечетное натуральное число, x < 6}.

15. Сколько собственных подмножеств имеет множество, A = A 1 U A 2 U… U A n ,

если A 1 , A 2 ,…, A n — синглетоны, попарно не равные между собой?

Множество - совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита - от A до Z .

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N - множество натуральных чисел

Z - множество целых чисел

Элемент множества - это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈ . Запись

читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 - элемент множества Z .

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество - множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество - множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

L = {2, 4, 6, 8}

означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми .

Подмножество

Подмножество - это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера . Круги Эйлера - это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае множеств.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6, 8} и M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M , значит множество L M . Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :

L ⊂M

Запись L ⊂M читается так: множество L является подмножеством множества M .

Множества состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком = .

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6} и M = {4, 6, 2}

так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M .

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств - это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩ .

Например, если

L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19}, то L ∩M = {3, 11}.

Запись L ∩M читается так: пересечение множеств L и M .

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах .

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪ .

Например, если

L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19},

то L ∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Запись L ∪M читается так: объединение множеств L и M .

При объединении равных множеств, объединение будет равно любому из данным множеств:

если L = M , то L ∪M = L и L ∪M = M .

Цели урока :

• образовательные: формирование умений выделять множества, подмножества; формирование навыков находить на изображениях область пересечения и объединения множеств и называть элементы из этой области, решать задачи;
• развивающие: развитие познавательного интереса учащихся; развитие интеллектуальной сферы личности, развитие умений сравнивать и обобщать.
• воспитательные: воспитывать аккуратность и внимательность при решении.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Учитель сообщает тему урока, совместно с учащимися формулирует цели и задачи.

3. Учитель совместно с учащимися вспоминает материал, изученный по теме «Множества» в 7 классе, вводит новые понятия и определения, формулы для решения задач.

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (основатель теории множеств – Георг Кантор). КАНТОР (Cantor) Георг (1845-1918) - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории трансфинитных (бесконечных) множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19- 20 вв.

Множество - одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах.

К сожалению, основному понятию теории – понятию множества – нельзя дать строгого определения. Разумеется, можно сказать, что множество – это «совокупность», «собрание», «ансамбль», «коллекция», «семейство», «система», «класс» и т. д. однако всё это было бы не математическим определением, а скорее злоупотреблением словарным богатством русского языка.

Для того чтобы определить какое – либо понятие, нужно, прежде всего, указать, частным случаем какого более общего понятия, оно является, для понятия множества сделать это невозможно, потому что более общего понятия, чем множество, в математике нет.

Часто приходится говорить о нескольких вещах, объединенных некоторым признаком. Так, можно говорить о множестве всех стульев в комнате, о множестве всех клеток человеческого тела, о множестве всех картофелин в данном мешке, о множестве всех рыб в океане, о множестве всех квадратов на плоскости, о множестве всех точек на данной окружности т. д.

Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами.

Например, множество дней недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.

Множество месяцев – из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.

Множество арифметических действий - из элементов: сложение, вычитание, умножение, деление.

Например, если А означает множество всех натуральных чисел, то 6 принадлежит к А, а 3 не принадлежит к А.

Если А - множество всех месяцев в году, то май принадлежит к А, а среда не принадлежит к А.

Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нем бесконечно много элементов, то бесконечным. Так множество деревьев в лесу конечно, а множество точек на окружности бесконечно.

Парадокс в логике - это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям.

Как уже упоминалось, понятие множества лежит в основе математики. Используя простейшие множества и различные математические конструкции, можно построить практически любой математический объект. Идею построения всей математики на основе теории множеств активно пропагандировал Г.Кантор. Однако, при всей своей простоте, понятие множества таит в себе опасность появления противоречий или, как ещё говорят, парадоксов. Появление парадоксов связано с тем, что далеко не всякие конструкции и не всякие множества можно рассматривать.

Самый простой из парадоксов - это "парадокс брадобрея ".

Одному солдату было приказано брить тех и только тех солдат его взвода, которые сами себя не бреют. Неисполнение приказа в армии, как известно, тягчайшее преступление. Однако возник вопрос, брить ли этому солдату самого себя. Если он побреется, то его следует отнести к множеству солдат, которые сами себя бреют, а таких брить он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то попадёт во множество солдат, которые сами себя не бреют, а таких солдат согласно приказу он обязан брить. Парадокс.

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись a R означает, что элемент а принадлежит множеству R , то есть а R . В противном случае, когда а не принадлежит множеству R , пишут a R .

Два множества А и В называются равными (А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .

Сравнение множеств.

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент В:

Говорят, что множество А содержится в множестве В или множество А является подмножеством множества В (в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением . Для любого множества А имеют место включения: ØА и А А

В этом случае A называется подмножеством B , B - надмножеством A. Если , то A называется собственным подмножеством В . Заметим, что ,

По определению ,

Два множества называются равными , если они являются подмножествами друг друга

Операции над множествами

Пересечение.

Объединение.

Свойства.

1.Операция объединения множеств коммутативна

2.Операция объединения множеств транзитивна

3. Пустое множество X является нейтральным элементом операции объединения множеств

1. Пусть A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6,7}. Тогда

2. А={2,4,6,8,10}, В = {3,6,9,12}. Найдём объединение и пересечение этих множеств:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Множество детей является подмножеством всего населения

4. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.

5. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество положительных чисел.

6.Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.

Диаграммы Венна (Venn diagrams ) - общее название целого ряда методов визуализации и способов графической иллюстрации, широко используемых в различных областях науки и математики : теория множеств, собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства; разновидностями диаграмм Венна служат: диаграммы Эйлера,

Диаграмма Венна четырёх множеств.

Собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства. Обычная диаграмма Венна имеет три множества. Сам Венн пытался найти изящный способ с симметричными фигурами , представляющий на диаграмме большее число множеств, но он смог это сделать только для четырех множеств (см. рисунок справа), используя эллипсы.

Диаграммы Эйлера

Диаграммы Эйлера аналогичны диаграммам Венна.Диаграммы Эйлера можно использовать, для того, чтобы оценивать правдоподобность теоретико-множественных тождеств.

Задача 1. В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

Решение: Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 - 17 = 13 человек.

Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек.

Задачи на пересечение и объединение множеств.

1. Даны множества А = {3,5, 0, 11, 12, 19}, В = {2,4, 8, 12, 18,0}.
   Найдите множества AU В,
2. Составьте не менее семи слов, буквы которых образуют подмножества множества
   А -{к,а,р,у,с,е,л,ь}.
3. Пусть A - это множество натуральных чисел, делящихся на 2, а В - множество натуральных чисел, делящихся на 4. Какой вывод можно сделать относительно данных множеств?
4. На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?
5. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 - ли­монад, а 15 - и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?
6. 12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 -фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?
7. Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в на­шем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?
8. Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимают­ся спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а тенни­сом - 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько тенниси­стов играет в футбол?
9. 65 % бабушкиных кроликов любят морковку, 10 % любят и морковку, и капусту. Сколько процентов кроликов не прочь по­лакомиться капустой?
10. В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 -черешню. Двое любят груши и черешню; 6 - груши и яблоки; 5 -яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учени­ков этого класса любят яблоки?
11. В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 -умных и 9 -добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время до­брых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?
12. В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике - 12; по ис­тории - 23. По русскому и математике - 4; по математике и исто­рии - 9; по русскому языку и истории - 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?
13. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 - испан­ский, 75 - немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним ино­странным языком. Среди них нет таких, которые знают два ино­странных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?
14. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 -в Италии, 6 - в Англии; в Англии и Италии - 5; в Англии и Фран­ции - 6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

5. Подведение итогов урока.

6. Рефлексия.

• Мне больше всего удалось…
• Для меня было открытием то, что …
• За что ты можешь себя похвалить?
• Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?
• Мои достижения на уроке.

7. Домашнее задание.

1. Макарычев. Пункт 13. №263, №264, №265, №266, № 271, №272.
2. Составить задачи на применение теории множеств.
3. По группам подготовить презентации по теме « Множества».