Методы финансовых и коммерческих расчетов. Четыркин Е.М. Финансовая математика - файл n1.doc

09.09.2019

Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S, при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i ? Решив (1) относительно P находим

P=S/(1+n * i) (1.10)

Напомним, что n=t/К - срок ссуды в годах.

Установленная таким путем величина Р является современной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя n лет. Дробь 1/(1 + ni) называют дисконтным или дисконтирующим множителем . Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме. В математике финансов дисконтом является величина, вычитаемая из суммы погашения обязательства, когда обязательство принимается до даты его погашения. Сумма, остающаяся после вычитания дисконта из суммы погашения, называется выручкой. Например, предположим, что Иванов получил вексель от Петрова на 10000 руб., которые будут погашены через 5 месяцев. После этого Иванов продает этот вексель Сидорову за 9500. В этом случае дисконт равен 500 руб. и выручка равна 9500 руб.

Пример 9. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням? Согласно (10) находим

P=310/(1+(180/365)0,16)=287,32859 тыс. руб.

Разность S - Р можно рассматривать не только как проценты, начисленные на Р, но и как дисконт с суммы S.

Банковский учет (учет векселей). Суть операции заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает у его владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк получает доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объеме, но ранее указанного на нем срока.

При учете векселя применяется банковский или коммерческий учет.

Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d . Размер дисконта, или суммы учета равен Snd; если d - годовая учетная ставка, то n измеряется в годах. Таким образом,

P = S – Snd = S (1 – nd), (1.11)

где n - срок от момента учета до даты погашения векселя.

Дисконтный множитель здесь равен (1 - nd). Из формулы (1.11) вытекает, что при n > 1/d величина дисконтного множителя и, следовательно, суммы Р станет отрицательной. Иначе говоря, при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или даже отрицательной сумме P, что лишено смысла. Например, при d =20% уже пятилетний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе К= 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным.

Пример 10. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн. руб. с уплатой 17.11.2009г. Владелец векселя учел его в банке 23.09.2008 по учетной ставке 20%. Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Полученная при учете сумма (без уплаты комиссионных) равна P = 1 000 000 (1-(55/360)0,2)=969444,4 руб.

Дисконт составит 30 555,6 руб.

Наращение по учетной ставке. Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. Наращенная сумма в этом случае

S=P(1/(1-nd)) (1.12)

Множитель наращения здесь равен 1/(1 - nd). Наращение не пропорционально ни сроку, ни ставке. Заметим, что при n > 1/d расчет лишен смысла, так как наращенная сумма становится бесконечно большим числом. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современная величина платежа больше нуля.

Пример 11. По данным примера 2 определим наращенную сумму при условии, что проценты начисляются по простой учетной ставке d = 18%:

S=1 000 000(1/(1-(258/360)0,18)=1 148 105,62 руб.

Простой дисконт, так же как простой процент, обычно используется только для краткосрочных периодов, как правило, не превышающих года. Чаще применяется норма дисконта d , хотя большое расхождение терминологии в различных текстах и финансовых учреждениях затрудняет временами возможность понять, какая норма упоминается норма процента или норма дисконта. Процент авансом означает банковский дисконт и его не следует путать с процентом, который всегда рассчитывается на P и выплачивается в конце сделки.

Приведенные в этой статье примеры и упражнения покажут, как применять средство Подбор параметра для решения задач, связанных с кредитом на покупку квартиры, автомобиля и банковскими депозитами.

Кредит на покупку квартиры

Прежде чем рассматривать задачи, связанные с кредитом на покупку квартиры, создайте рабочий лист, показанный на рис. 1.9. Если вы не в курсе, то Excel доступен и в онлайн-режиме, для этого вам потребуется Mozilla Firefox скачать бесплатно .

На этом рабочем листе сумма кредита, срок погашения кредита (в месяцах) и годовая процентная ставка представлены в виде чисел, а ежемесячный платеж рассчитывается с помощью функции =ПЛТ(Ставка;Кпер;Пс) . В этой функции аргумент Ставка задает ежемесячную процентную ставку по кредиту (поэтому в нашей формуле этот аргумент равен В5/12), аргумент Кпер - количество периодов погашения кредита (ячейка В4), аргумент Пс - сумма кредита (ячейка В3).

Подбор параметра для вычисления суммы кредита

Задача : кредит берется на 15 лет с процентной ставкой 5,75% при условии, что сумма ежемесячных платежей не должна превышать 11 000 руб. Какова максимальная сумма кредита?

Ответ : если кредит берется на 15 лет с процентной ставкой 5,75% при условии, что сумма ежемесячных платежей не должна превышать 11 000 руб., то максимальная сумма кредита составит 1 324 647 руб.

Подбор параметра для вычисления срока погашения кредита

Задача : каков срок погашения кредита, если сумма кредита равна 2 250 000 руб., процентная ставка составляет 7% годовых, а ежемесячные платежи равны 14 230 руб.?

В ячейку В3 введите число 2250000, в ячейку В5 введите 7%.
Выберите команду Подбор параметра , выполните команду . Откроется диалоговое окно Подбор параметра
В поле ввода Установить в ячейке
В поле ввода Значение введите число — 14230.
В поле ввода Изменяя значение ячейки
Щелкните на кнопке ОК .
В открывшемся окне Результат подбора параметра щелкните на кнопке ОК .

Ответ : кредит в сумме 2 250 000 руб. с процентной ставкой 7% годовых и ежемесячными платежами в размере 14 230 руб. берется на 439 месяцев (примерно 36,6 года).

Подбор параметра для вычисления процентной ставки

Задача : кредит в размере 8 500 000 руб. берется на 30 лет с максимальными ежемесячными платежами 52 250 руб. На какую максимальную процентную ставку можно согласиться при таких условиях?

В ячейку В3 введите число 8500000, в ячейку В4 введите 360.
Выберите команду Подбор параметра , выполните команду Данные → Работа с данными → Подбор параметра . Откроется диалоговое окно Подбор параметра
В поле ввода Установить в ячейке введите В6 или щелкните на ячейке В6.
В поле ввода Значение введите число — 52250.
В поле ввода Изменяя значение ячейки введите В4 или щелкните на ячейке В4.
Щелкните на кнопке ОК .
В открывшемся окне Результат подбора параметра щелкните на кнопке ОК .

Ответ : если кредит в размере 8 500 000 руб. берется на 30 лет с максимальными ежемесячными платежами 52 250 руб., то можно согласиться на процентную ставку в размере 6,23%.

4. 1. Концепция стоимости денег во времени

В основе концепции стоимости денег во времени лежит следующий основной принцип: Доллар сейчас стоит больше, чем доллар, который будет получен в будущем, например через год, так как он может быть инвестирован и это принесет дополнительную прибыль. Данный принцип является наиболее важным положением во всей теории финансов и анализе инвестиций. На этом принципе основан подход к оценке экономической эффективности инвестиционных проектов.

Данный принцип порождает концепцию оценки стоимости денег во времени. Суть концепции заключается в том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыльности на денежном рынке и рынке ценных бумаг. В качестве нормы прибыльности выступает норма ссудного процента или норма выплаты дивидендов по обыкновенным и привилегированным акциям.

Учитывая, что инвестирование представляет собой обычно длительный процесс, в инвестиционной практике обычно приходится сравнивать стоимость денег в начале их инвестирования со стоимостью денег при их возврате в виде будущей прибыли. В процессе сравнения стоимости денежных средств при их вложении и возврате принято использовать два основных понятия: настоящая (современная) стоимость денег и будущая стоимость денег.

Будущая стоимость денег представляет собой ту сумму, в которую превратятся инвестированные в настоящий момент денежные средства через определенный период времени с учетом определенной процентной ставки. Определение будущей стоимости денег связано с процессом наращения (compounding) начальной стоимости, который представляет собой поэтапное увеличение вложенной суммы путем присоединения к первоначальному ее размеру суммы процентных платежей. В инвестиционных расчетах процентная ставка платежей применяется не только как инструмент наращения стоимости денежных средств, но и как измеритель степени доходности инвестиционных операций.

Настоящая (современная) стоимость денег представляет собой сумму будущих денежных поступлений, приведенных к настоящему моменту времени с учетом определенной процентной ставки. Определение настоящей стоимости денег связано с процессом дисконтирования (discounting), будущей стоимости, который (процесс) представляет собой операцию обратную наращению. Дисконтирование используется во многих задачах анализа инвестиций. Типичной в данном случае является следующая: определить какую сумму надо инвестировать сейчас, чтобы получить например, $1,000 через 5 лет.

Таким образом, одну и ту же сумму денег можно рассматривать с двух позиций:

а) с позиции ее настоящей стоимости

б) с позиции ее будущей стоимости

Причем, арифметически стоимость денег в будущем всегда выше.

4. 2. Элементы теории процентов

В процессе анализа инвестиционных решений принято использовать сложные проценты. Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

Основная формула теории процентов определяет будущую стоимость денег:

где P — настоящее значение вложенной суммы денег,

F — будущее значение стоимости денег,

n — количество периодов времени, на которое производится вложение,

r — норма доходности (прибыльности) от вложения.

Простейшим способом эту формулу можно проинтерпретировать, как определение величины депозитного вклада в банк при депозитной ставке r (в долях единицы).

Существо процесса наращения денег не изменяется, если деньги инвестируются в какой-либо бизнес (предприятие). Главное, чтобы вложение денег обеспечивало доход, то есть увеличение вложенной суммы.

Пример 1. Банк выплачивает 5 процентов годовых по депозитному вкладу. Согласно формуле (4.1) $100, вложенные сейчас, через год станут

Если вкладчик решает оставить всю сумму на депозите еще на один год, то к концу второго года объем его вклада составит

или по формуле (4.1)

Процесс наращения стоимости $100 по годам можно представить в виде таблицы или диаграммы:

	Обозначение	Стоимость денег

Следует отметить, что процесс наращения не является линейным.

Настоящее (современное) значение стоимости определенной будущей суммы денег определяется с помощью формулы

которая является простым обращением формулы (4.1).

Пример 2. Пусть инвестор хочет получить $200 через 2 года. Какую сумму он должен положить на срочный депозит сейчас, если депозитная процентная ставка составляет 5%.

С помощью формулы (4.2) легко определить

Понятно, что формула (4.2) лежит в основе процесса дисконтирования. И в этом смысле величина r интерпретируется как ставка дисконта и часто называется просто дисконтом.

Рассмотренный в примере (4.2) случай можно интерпретировать следующим образом:

$181.40 и $200 — это два способа представить одну и ту же сумму денег в разные моменты времени — $200 через два года равносилен $181.40 сейчас.

Процесс дисконтирования наглядно можно продемонстрировать с помощью следующего графика:

В анализе инвестиции величины (1+r) n и (1+r) -n часто называют соответственно множителями наращения и дисконтирования. Наращение и дисконтирование единичных денежных сумм удобно производить с помощью финансовых таблиц 1 и 3, помещенных в приложении. В этих таблицах содержатся множители наращения и дисконтирования, соответственно.

4. 3. Влияние инфляции при определении настоящей и будущей стоимости денег

В инвестиционной практике постоянно приходится считаться с корректирующим фактором инфляции, которая с течением времени обесценивает стоимость денежных средств. Это связано с тем, что инфляционный рост индекса средних цен вызывает соответствующее снижение покупательной способности денег.

При расчетах, связанных с корректировкой денежных потоков в процессе инвестирования с учетом инфляции, принято использовать два основных понятия

номинальная сумма денежных средств,
реальная сумма денежных средств.

Номинальная сумма денежных средств не учитывает изменение покупательной способности денег. Реальная сумма денежных средств — это оценка этой суммы с учетом изменения покупательной способности денег в связи с процессом инфляции.

В финансово-экономических расчетах, связанных с инвестиционной деятельностью, инфляция учитывается в следующих случаях:

при корректировке наращенной стоимости денежных средств,
при формировании ставки процента (с учетом инфляции), используемой для наращения и дисконтирования,
при прогнозе уровня доходов от инвестиций, учитывающих темпы инфляции.

В процессе оценки инфляции используются два основных показателя:

темп инфляции Т, характеризующий прирост среднего уровня цен в рассмотренном периоде, выражаемый десятичной дробью,
индекс инфляции I (изменение индекса потребительских цен), который равен 1+Т.

Корректировка наращенной стоимости с учетом инфляции производится по формуле

где — реальная будущая стоимость денег,

F n — номинальная будущая стоимость денег с учетом инфляции.

Здесь предполагается, что темп инфляции сохраняется по годам.

Если r — номинальная ставка процента, которая учитывает инфляцию, то расчет реальной суммы денег производится по формуле:

, (4.4)

то есть номинальная сумма денежных средств снижается в (1+Т) n раза в соответствии со снижением покупательной способности денег.

Пример 3. Пусть номинальная ставка процента с учетом инфляции составляет 50%, а ожидаемый темп инфляции в год 40%. Необходимо определить реальную будущую стоимость объема инвестиций 200,000 грн.

Подставляем данные в формулу (4.4), получаем

Если же в процессе реального развития экономики темп инфляции составит 55%, то

Таким образом, инфляция "съедает" и прибыльность и часть основной суммы инвестиции, и процесс инвестирования становится убыточным.

В общем случае при анализе соотношения номинальной ставки процента с темпом инфляции возможны три случая:

r = T:

реальной стоимости

r > T

r < T

Взаимосвязь номинальной и реальной процентной ставок.

Пусть инвестору обещана реальная прибыльность его вложений в соответствии с процентной ставкой 10 %. Это означает, что при инвестировании 1,000 грн. через год он получит 1,000 х (1+0.10) = 1,100 грн. Если темп инфляции составляет 25 %, то инвестор корректирует эту сумму в соответствии с темпом: 1,100 х (1+0.25) = 1,375 грн. Общий расчет может быть записан следующим образом

1,000 х (1+0.10) х (1+0.25) = 1,375 грн.

В общем случае, если r р - реальная процентная ставка прибыльности, а Т — темп инфляции, то номинальная (контрактная) норма прибыльности запишется с помощью формулы

Величина r з + r з T имеет смысл инфляционной премии.

Часто можно встретить более простую формулу, которая не учитывает "смешанный эффект" при вычислении инфляционной премии

Эту упрощенную формулу можно использовать только в случае невысоких темпов инфляции, когда смешанный эффект пренебрежимо мал по сравнению с основной компонентой номинальной процентной ставки прибыльности.

Отношение к инфляции в реальной практике. Прогнозирование темпов инфляции очень сложный процесс, протекающий на фоне большого количества неопределенностей. Это особенно характерно для стран с неустойчивым экономическим положением. Кроме того, темпы инфляции в отдельные периоды в значительной степени подвержены влиянию субъективных факторов, слабо поддающихся прогнозированию. Поэтому один из наиболее реально значимых подходов может состоять в следующем: стоимость инвестируемых средств и суммы денежных средств, обеспечивающих возврат, пересчитываются из национальной валюты в одну из наиболее устойчивых твердых валют (доллар США, фунт стерлингов Великобритании, немецкие марки). Пересчет осуществляется по биржевому курсу на момент проведения расчетов. Процесс наращения и дисконтирования производится в данном случае не принимая во внимание инфляцию. Конкретная процентная ставка определяется исходя из источника инвестирования. Например, при инвестировании за счет кредитов коммерческого банка в качестве показателя дисконта принимается процентная ставка валютного кредита этого банка.

4. 4. Наращение и дисконтирование денежных потоков

Поскольку процесс инвестирования, как правило, имеет большую продолжительность в практике анализа эффективности капитальных вложений, обычно приходится иметь дело не с единичными денежными суммами, а с потоками денежных средств.

Вычисление наращенной и дисконтированной оценок сумм денежных средств в этом случае осуществляется путем использования соответствующих формул (4.1) и (4.2) для каждого элемента денежного потока.

Денежный поток принято изображать на временной линии в одном из двух способов:

Представленный на рисунке денежный поток состоит в следующем: в настоящее время выплачивается (знак "минус") $2,000, в первый и второй годы получено $1,000, в третий — $1,500, в четвертый — снова $1,000.

Элемент денежного потока принято обозначать CF k (от Cash Flow), где k — номер периода, в который рассматривается денежный поток. Настоящее значение денежного потока обозначено PV (Present Value), а будущее значение — FV (Future Value).

Используя формулу (4.1), для всех элементов денежного потока от 0 до n получим будущее значение денежного потока

(4.5)

Пример 4. После внедрения мероприятия по снижению административных издержек предприятие планирует получить экономию $1,000 в год. Сэкономленные деньги предполагается размещать на депозитный счет (под 5 % годовых) с тем, чтобы через 5 лет накопленные деньги использовать для инвестирования. Какая сумма окажется на банковском счету предприятия?

Решим задачу с использованием временной линии.

Таким образом через 5 лет предприятие накопит $5,526, которые сможет инвестировать.

В данном случае денежный поток состоит из одинаковых денежных сумм ежегодно. Такой поток называется аннуитетом . Для вычисления будущего значения аннуитета используется формула

, (4.6)

которая следует из (4.5) при CF k = const и CF 0 = 0.

Расчет будущего значения аннуитета может производиться с помощью специальных финансовых таблиц. Фрагмент этих таблиц помещен в приложении (таблица 2). В частности, с помощью таблицы 2 при r = 5% и n = 5 получаем множитель 5,526, который соответствует результату расчета примера.

Дисконтирование денежных потоков осуществляется путем многократного использования формулы (4.2), что в конечном итоге приводит к следующему выражению:

(4.7)

Пример 5. Рассмотрим денежный поток с неодинаковыми элементами CF 1 =100, CF 2 =200, CF 3 =200, CF 4 =200, CF 5 =200, CF 6 =0, CF 7 =1,000, для которого необходимо определить современное значение (при показателе дисконта 6%). Решение проводим с помощью временной линии:

Вычисление дисконтированных значений отдельных сумм можно производить путем использования таблицы 3, помещенной в приложении

Дисконтирование аннуитета (CF j = const) осуществляется по формуле

(4.8)

Для расчета настоящего (современного) значения аннуитета может быть использована таблица 4 приложения.

Пример 6. Предприятие приобрело облигации муниципального займа, которые приносят ему доход $15,000, и хочет использовать эти деньги для развития собственного производства. Предприятие оценивает прибыльность инвестирования получаемых каждый год $15,000 в 12 %. Необходимо определить настоящее значение этого денежного потока.

Решение проведем с помощью таблицы:

Множитель при 12% дисконтирования	Поток денег	Настоящее значение

По результатам расчетов мы видим, что

дисконтированное значение денежного потока существенно меньше арифметической суммы элементов денежного потока,
чем дальше мы заходим во времени, тем меньше настоящее значение денег: $15,000 через год стоят сейчас $13,395; $15,000 через 5 лет стоят сейчас $8,505.

Задача может быть решена также с помощью таблицы 4 приложения. При r = 12% и n = 5 по таблице находим множитель дисконтирования 3.605.

Современное значение бесконечного (по времени) потока денежных средств определяется по формуле:

которая получается путем суммирования бесконечного ряда, определяемого формулой (4.8) при .

4.5. Сравнение альтернативных возможностей вложения денежных средств с помощью техники дисконтирования и наращения

Техника оценки стоимости денег во времени позволяет решить ряд важных задач сравнительного анализа альтернативных возможностей вложения денег. Рассмотрим эту возможность на следующем примере.

Пример 7. Комплексное пояснение к временной стоимости денег. Рассмотрим поток $1,000, который генерируется какой либо инвестицией в течение 3 лет. Расчетная норма прибыльности инвестирования денежных средств предприятия составляет 10 %.

Попытаемся последовательно ответить на ряд вопросов, связанных с различными ситуациями относительно этого потока и его использования.

Вопрос 1 . Какова современная стоимость этого потока?

Вопрос 2 . Какова будущая стоимость $2,486.85 на конец 3 года? (то есть если бы мы вложили деньги в банк под r = 10% годовых)?

Вопрос 3 . Какова будущая стоимость потока денежных средств на конец 3-го года?

Мы получили одинаковые ответы на второй и третий вопросы. Вывод очевиден: если мы инвестируем в какой-либо бизнес $2,486.85 и эта инвестиция генерирует заданный поток денег $1,000, $1,000, $1,000, то на конец 3-го года мы получим ту же сумму денег $3,310, как если бы просто вложили $2,486.85 в финансовые инструменты под 10% годовых.

Пусть теперь величина инвестиции составляет $2,200, а генерируемый поток такой же, что приводит к концу 3-го года к $3,310.

Инвестирование $2,200 в финансовые инструменты под 10% даст, очевидно, . Значит нам более выгодно инвестировать в данном случае в реальный бизнес, а не в финансовые инструменты.

Вопрос 4 . Как изменится ситуация, если норма прибыльности финансового вложения денег r станет выше, например 12%.

По-прежнему мы инвестируем $2,486.85 в бизнес, и это приводит к потоку денежных средств $1,000 каждый год в течение 3-х лет. Современное значение этого потока

уменьшилось и стало меньше исходной суммы инвестиций $2,486.85.

Сравним будущее значение исходной суммы $2,486.85 и потока денежных средств, который генерирует инвестирование этой суммы в бизнес:

Выводы, которые можно сделать на основе сравнения этих значений таковы:

a) инвестирование суммы $2,486.85 в финансовые инструменты под 12% годовых приведет к $3,493.85 через 3 года,

б) инвестирование суммы $2,486.85 в бизнес, который генерирует денежный поток $1,000 каждый год в течение 3-х лет, приведет к $3,374.40 к концу 3-го года.

Очевидно, что при норме прибыльности 12% инвестировать в бизнес не выгодно .

Данный вывод имеет простое экономическое объяснение. Дело в том, что инвестирование денег в финансовые инструменты начинает приносить доход сразу же, начиная с первого года. В то же время, инвестирование денег в реальные активы позволяет получить первую $1,000 только к концу первого года, и она приносит финансовый доход только в течение оставшихся двух лет. Другими словами, имеет место запаздывание сроков начала отдачи в случае инвестирования реальные активы по сравнению с инвестицией в финансовые инструменты. И если при норме прибыльности 10 процентов оба варианта вложения денег равносильны в смысле конечной суммы "заработанных" денег, то увеличение нормы прибыльности делает инвестицию в финансовые инструменты более выгодной.

Возвратимся к количественному сравнению эффективности альтернативного вложения денег. Рассмотрим, насколько выгоднее вкладывать деньги в финансовые инструменты по сравнению с реальными инвестициями в двух временных точках: момент времени "сейчас" и конец третьего года.

В настоящее время поток денежных средств от реальной инвестиции составляет $2,401.83 при исходной инвестиции $2,486.85. Значит финансовая инвестиция более выгодна на $85. К концу третьего года финансовая инвестиция принесет $3,493.85, а реальная инвестиция — $3,374.40. Разница составляет $119.45. Существенно подчеркнуть, что это различие также подчиняется концепции стоимости денег во времени, т.е. продисконтировав $119.45 при 12 процентах мы закономерно получим $85.

Контрольные вопросы и задания

Сформулируйте основной принцип стоимости денег во времени.
В чем экономический смысл концепции стоимости денег во времени?
Что понимается под наращением и дисконтированием денег?
Перечислите четыре основные элемента, связанные между собой в концепции стоимости денег во времени.
В чем экономический смысл нормы доходности инвестирования денег?
Запишите основную формулу теории сложных процентов.
Как изменяется будущая стоимость денег при увеличении продолжительности инвестирования?
Сформулируйте пример практического использования современного значения денег.
Какая стоимость денег является реальной: современная или будущая?
Как следует корректировать ожидаемые денежные потоки в связи с инфляцией?
Какие основные показатели инфляции используются при корректировке будущей стоимости денег?
Как имея реальную доходность инвестиций и годовой темп инфляции подсчитать номинальную доходность инвестиций?
Когда процесс инвестирования становится невыгодным?
Когда процесс инвестирования становится убыточным?
Что такое смешанный эффект при сопоставлении нормы доходности и темпа инфляции?
Как производится процесс наращения и дисконтирования денежных потоков?
Какой денежный поток называется аннуитетом?
Как определить современное и будущее значения аннуитета?
Что такое бесконечный аннуитет и как рассчитать его современное значение?
Как устроены и зачем используются финансовые таблицы?
Если сравнительная эффективность вложения в реальные активы и финансовые инструменты одинакова, то как она изменится при увеличении нормы доходности?

1. Предположим Вы купили шестилетний 8-ми процентный сберегательный сертификат стоимостью $1,000. Если проценты начисляются ежегодно, какую сумму Вы получите по окончанию контракта?

Используем формулу наращения денег, т.е. определяем будущую стоимость $1,000 через 6 лет при 8 процентах годовой прибыли:

Такой же результат получается с помощью финансовой таблицы 1 прил. Проверьте.

2 . Финансовый менеджер предприятия предложил Вам инвестировать Ваши $5,000 в его предприятие, пообещав возвратить Вам $6,000 через два года. Имея другие инвестиционные возможности, Вы должны выяснить, какова процентная ставка прибыльности предложенного Вам варианта.

Используем основную формулу наращения денег:

откуда следует

В нашем случае

Ясно, что если кто-либо предложит Вам инвестировать Ваши деньги под, хотя бы, 10 процентов годовых, Вы отклоните предложение получить $6,000 через два года, вложив сейчас $5,000.

3. Вам предлагают инвестировать деньги с гарантией удвоить их количество через пять лет. Какова процентная ставка прибыльности такой инвестиции?

Используем основную формулу предыдущей задачи, учитывая, что будущее значение какой-либо суммы через пять лет FV 5 и ее современное значение PV относятся как 2:1.

4. Предприятие собирается приобрести через три года новый станок стоимостью $8,000. Какую сумму денег необходимо вложить сейчас, чтобы через три года иметь возможность совершить покупку, если процентная ставка прибыльности вложения составляет

а) 10 процентов?

б) 14 процентов?

По условию задачи мы должны определить современное значение стоимости станка $8,000 при ставке дисконта 10 процентов. Используем формулу дисконтирования:

Аналогично для случая б):

Закономерно, что во втором случае сумма вклада получилась меньше.

5. Проведя усовершенствование технологического процесса предприятие в течение пяти последующих лет планирует получение ежегодное увеличение денежного дохода на $10,000. Эти деньги оно собирается немедленно вкладывать под 10 процентов годовых, желая через пять лет накопить сумму для приобретения нового оборудования. Какую сумму денег предприятие получит через пять лет?

По условию задачи предприятие планирует получить аннуитет $10,000 в течение пяти лет. Для определения суммы накопленных денег необходимо вычислить будущее значение пятилетнего аннуитета при процентной ставке наращения 10 процентов. Используем формулу будущего значения аннуитета:

Такое же значение мы получаем, использовав финансовую таблицу для будущего значения аннуитета $1

6. Предприятие располагает $160,000 и предполагает вложить их в собственное производство, получая в течение четырех последующих лет ежегодно $50,000. В то же время предприятие может купить на эту сумму акции одной солидной корпорации, приносящие 12 процентов годовых. Какой вариант Вам представляется более приемлемым, если считать что более выгодной возможностью вложения денег (чем под 12 процентов годовых) предприятие не располагает?

Для ответа на вопрос можно воспользоваться двумя способами рассуждения. Сравним будущее наращенное значение аннуитета $50,000 при процентной ставке 12 процентов с будущим значением альтернативного вложения всей суммы $160,000 при той же процентной ставке:

будущее значение аннуитета —

будущее значение $160,000 —

Результаты расчетов говорят о том, что покупка акций более выгодна, чем вложение этой же суммы денег в собственное производство.

Возможен другой подход к решению задачи, использующий приведение денежных потоков к настоящему времени. Этот подход более распространен в практике, поскольку он проще. В данном случае мы просто определяем настоящее значение аннуитета $50,000 при показателе дисконтирования 12 процентов:

Сравнивая полученное значение с суммой имеющихся в настоящее время денежных средств $160,000, приходим к такому же выводу: вкладывать деньги в акции солидной компании более выгодно.

Кто-либо может заметить, что численное значение различия альтернативных вариантов вложения в настоящее время $160,000 — $151,865 = $8,135 существенно меньше численного различия через четыре года $251,760 -$238,965 = $12,795. Это закономерно ввиду феномена стоимости денег во времени: если мы дисконтируем $12,795 на четыре года при показателе дисконта 12%, то получим $8,131. Отсутствие абсолютного совпадения объясняется только погрешностью расчетов, связанной округлением долларовых сумм до целых значений.

Вычислим современные значения последовательностей денежных доходов по каждому проекту, дисконтируя ежегодные доходы при показателе дисконта 18%. Расчеты проведем с помощью специальных таблиц.

Денежный поток	Множитель дисконта	Современное значение

	Денежный поток	Множитель дисконта	Современное значение




Суммарное современное значение

По результатам расчетов можно сделать вывод о предпочтительности второго проекта.

8. Предположим Вы заключили депозитный контракт на сумму $4,000 на 3 года при 12-и процентной ставке. Если проценты начисляются ежегодно, какую сумму Вы получите по окончании контракта?

9. Финансовый менеджер предприятия предложил Вам инвестировать Ваши $10,000 в его предприятие, пообещав возвратить $13,000 через два года. Имея другие инвестиционные возможности, Вы должны выяснить, какова процентная ставка прибыльности предложенного Вам варианта.

10. Предприятие собирается приобрести через пять лет новый станок стоимостью $12,000. Какую сумму денег необходимо вложить сейчас, чтобы через пять лет иметь возможность совершить покупку, если процентная ставка прибыльности вложения составляет

а) 12 процентов?

б) 13 процентов?

11. Предприятие располагает $600,000 и предполагает вложить их в собственное производство, получая в течение трех последующих лет ежегодно $220,000. В то же время предприятие может купить на эту сумму акции соседней фирмы, приносящие 14 процентов годовых. Какой вариант Вам представляется более приемлемым, если считать что более выгодной возможностью вложения денег (чем под 14 процентов годовых) предприятие не располагает?

12. Предприятие рассматривает два альтернативных проекта капитальных вложений приводящих к одинаковому суммарному результату в отношении будущих денежных доходов:

Оба проекта имеет одинаковый объем инвестиций. Предприятие планирует инвестировать полученные денежные доходы под 18 процентов годовых. Сравните современные значения полученных денежных доходов.

13. Вы имеете 10 млн. грн. и хотели бы удвоить эту сумму через 5 лет. Каково минимально приемлемое значение процентной ставки?

14. Банк предлагает 15% годовых. Чему должен быть равен изначальный вклад, чтобы через 3 года иметь на счете 5 млн. грн.

15. Какая сумма предпочтительнее при ставке 9% — $1000 сегодня или $2000 через 8 лет?

16. Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 2 млн. грн. при размещении ее в банке на условиях начисления сложных процентов, если годовая ставка 15%, а периоды наращения 90 дн., 180 дн., 1 год, 5 лет, 10 лет.

17. Приведены данные о денежных потоках:

Рассчитайте для каждого потока показатели FV при r = 12% и PV при r = 15% для двух случаев: а) потоки имеют место в начале года; б) потоки имеют место в конце года.

18. Анализируются два варианта накопления средств по схеме аннуитета (поступление денежных средств осуществляется в конце соответствующего временного интервала):

План 1: вносится вклад на депозит $500 каждые полгода при условии, что банк начисляет 8% годовых с полугодовым начислением процентов.

План 2: делается ежегодный вклад в размере $1000 на условиях 9% годовых при ежегодном начислении процентов.

Определите:

а) какая сумма будет на счете через 10 лет при реализации каждого плана? Какой план более предпочтителен?

б) изменится ли ваш выбор, если процентная ставка в плане 2 будет снижена до 8,5%?

19. Каков ваш выбор — получение $5000 через год или $12000 через 6 лет, если коэффициент дисконтирования равен: а) 0%; б) 12%; в) 20%?

20. Рассчитайте будущую стоимость $1000 для следующих ситуаций:

а) 5 лет, 8% годовых, ежегодное начисление процентов;
б) 5 лет, 8% годовых, полугодовое начисление процентов;
в) 5 лет, 8% годовых, ежеквартальное начисление процентов.

21. Рассчитайте текущую стоимость каждого из приведенных ниже денежных поступлений, если коэффициент дисконтирования равен 12%: а) 5 млн. грн., получаемые через 3 года; б) 50 млн. грн., получаемые через 10 лет.

22. Фирме нужно накопить $2 млн., чтобы через 10 лет приобрести здание под офис. Наиболее безопасным способом накопления является приобретение безрисковых государственных ценных бумаг, генерирующих годовой доход по ставке 8% при полугодовом начислении процентов. Каким должен быть первоначальный вклад фирмы?

23. Что более предпочтительно — получить $2000 сегодня или $5000 через 8 лет, если коэффициент дисконтирования равен 8%?

24. Стоит ли покупать за $5500 ценную бумагу, генерирующую ежегодный доход в размере $1000 в течение 7 лет, если коэффициент дисконтирования равен 8%?

25. Предприятие имеет возможность участвовать в некоторой деловой операции, которая принесет доход в размере 10 млн. грн. по истечении двух лет.

Выберите один из двух вариантов получения доходов: либо по 5 млн. грн. по истечении каждого года, либо единовременное получение всей суммы в конце двухлетнего периода.
Существуют ли такие условия, когда выбор варианта для Вас безразличен?
Изменится ли ваше решение, если доход второго года уменьшится до 4 млн. грн.?

Сформулируйте различные условия, при которых вариант единовременного получения дохода может быть предпочтительным.

26. Оплата по долгосрочному контракту предполагает выбор одного из двух вариантов: 25 млн. грн. через 6 лет или 50 млн. грн. через 12 лет. При каком значении коэффициента дисконтирования выбор безразличен?

27. Фирме предложено инвестировать 100 млн. грн. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 млн. грн.); по истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 млн. грн.. Примет ли она это предложение, если можно депонировать деньги в банк из расчета 8% годовых, начисляемых ежеквартально?

Учебное пособие - Е.В. Ширшов и др. Финансовая математика (Лекция)

Каменская Н.Ю. Краткосрочная и долгосрочная финансовая политика (УМК) (Документ)

Малыхин В.И. Финансовая математика (Документ)

n1.doc

Глава 2

НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ

ПО ПРОСТЫМ

ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ

§2.1. Формула наращения

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока начисления (date of maturity, due date). Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга (principal) на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная формула зависит от вида применяемой процентной ставки и условий наращения.

К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов (simple interest) примем обозначения:

/ - проценты за весь срок ссуды;

Р - первоначальная сумма долга;

S - наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;

/ - ставка наращения процентов (десятичная дробь);

п - срок ссуды.

Если срок измеряется в годах (как это обычно и бывает), то I означает годовую процентную ставку. Соответственно каждый год приносит проценты в сумме А". Начисленные за весь срок проценты составят

/ = Pni. Наращенная сумма, таким образом, находится как

S = Р + / = Р + Pni = />(1 + #10. (2.1)

Выражение (2.1) называют формулой наращения по простым процентам или кратко - формулой простых процентов, а множитель (1 + ni) - множителем наращения простых процентов. График роста по простым процентам представлен на рис. 2.1.

Заметим, что увеличение процентной ставки или срока в к раз одинаковым образом влияет на множитель наращения. Последний увеличится в (1 + kni) / (1 + ni) раз.

S)	\	S
		Pni
р
р
		-

1 2

Рис. 2.1

ПРИМЕР 2.1. Определим проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 700 тыс.руб., срок 4 года, проценты простые по ставке 20% годовых (/ = 0,2):

/ = 700 х 4 х 0,2 = 560 тыс. руб.;

S = 700 + 560 = 1260 тыс. руб.

Увеличим теперь ставку в два раза. Сумма процентов при этом, естественно, удвоится. Однако наращенная сумма увеличится в

(1 + 2 х 4 х 0,2) / (1 + 4 х 0,2) = 1,444 раза.

Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд. Поскольку процентная ставка, как правило, устанавливается в расчете за год, то при сроке ссуды менее года необходимо определить, какая часть годового процента уплачивается кредитору. Аналогичная проблема возникает и в случаях, когда срок ссуды меньше периода начисления.

Рассмотрим наиболее распространенный в практике случай - с годовыми периодами начисления. Очевидно, что срок ссуды необязательно равен целому числу лет. Выразим срок п в виде дроби

п = -Ј, (2.2)

где / - число дней ссуды, К - число дней в году, или временная база начисления процентов (time basis).

При расчете процентов применяют две временные базы: К = 360 дней (12 месяцев по 30 дней) или К= 365, 366 дней. Если К = 360, то получают обыкновенные или коммерческие проценты (ordinary interest), а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные проценты (exact interest) .

Число дней ссуды также можно измерить приближенно и точно. В первом случае продолжительность ссуды определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням. В свою очередь точное число дней ссуды определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по табл. 1 Приложения.

Итак, возможны и применяются на практике три варианта расчета простых процентов.

Точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант, естественно, дает самые точные результаты. Данный способ применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками, например, в Великобритании, США. В коммерческих документах он обозначается как 365/365 или ACT/ACT.
Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским (Banker"s Rule), распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, во внутристрановых - во Франции, Бельгии, Швейцарии. Он обозначается, как 365/360 или АСТ/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Заметим, что при числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, если / = 364, то/? = 364/360 = 1,01111. Множитель наращения за год при условии, что / = 20% , составит 1,20222.
Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в

практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Метод условно обозначается как 360/360.

Очевидно, что вариант расчета с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не применяется.

Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев, но разумеется, не всегда, больше приближенного (в чем легко убедиться, определив среднее за год число дней в месяце, которое равно 30,58), то метод начисления процентов с точным числом дней ссуды обычно дает больший рост, чем с приближенным.

ПРИМЕР 2.2. Ссуда в размере 1 млн руб. выдана 20.01 до 05.10 включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применим все три метода. Предварительно определим число дней ссуды: точное - 258, приближенное - 255.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):

S = 1 000 000(1 + -fif-0,18) = 1 127 233 руб. 365

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды
(360/365):

S = 1 000 000(1 + -||^-0.18) = 1 129 000 руб. ооО

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссу
ды (360/360):

25*5 S = 1 000 000(1 + -Ц-0,18) = 1 127 500 руб.

Если общий срок ссуды захватывает два смежных календарных года и есть необходимость в делении суммы процентов между ними (например, при определении годовых сумм дохода и т.д.), то общая сумма начисленных простых процентов составит сумму процентов, полученных в каждом году:

/ = /j + / 2 = Pn x i + Pn 2 i,

здесь tij и п 2 - части срока ссуды, приходящиеся на каждый календарный год.

Переменные ставки. В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:

S = Р[\ + л,/, + л 2 / 2 +-.+*«"«) - W 1 + 2 ""Ч"

Где /, - ставка простых процентов в периоде /, n t - продолжительность периода с постоянной ставкой, п = Z /?,.

ПРИМЕР 2.3. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Находим

1 + 2п^ = 1 + 1 х 0,16 + 0,5 х 0,17 + 0,5 х 0,18 +

0,5 х0,19 = 1,43.

Начисление процентов при изменении сумм депозита во време ни. Принципиально ничего не меняется, если сумма, на которую начисляются проценты, изменяет свою величину во времени (размер вклада на сберегательном счете, текущий счет при периодическом его пополнении или снятии денег и т.п.). В этом случае

/ = 2 Л/1/, (2.4)

Где Rj - остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств, /?. - срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете.

В банковско-сберегательном деле обычно применяют следующий способ, основанный на преобразовании (2.4). Для этого измерим интервалы между моментами изменений величины остатка на счете в днях, а процентную ставку выразим в процентах (а не в десятичных дробях как выше). После чего получим

/- уяп.1ш2*&:*-. (2.5)

у J J loo i к "

Как и прежде К означает число дней в году, a tj - срок в днях между последовательными изменениями остатков на счете.

Величину Л Rjt } /100 называют процентным числом (interest number), а делитель - процентным (или постоянным) делителем (interest divisor).

ПРИМЕР 2.4. Движение средств на счете характеризуется следующими данными: 05.02 поступило 12 млн руб., 10.07 снято 4 млн руб. и 20.10 поступило 8 млн руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 18% годовых.

Процентный делитель составит 365: 18 = 20,27778. Расчет суммы процентных чисел приведен в следующей таблице.

Дата	Движение средств	Остаток {Rj)	Срок Ц )	Процентное число
05.02	12	12	155	18,6
10.07	-4	8	102	8,16
20.10	8	16	72	11,52
31.12	-	16	-	--
Итого				38,28

Сумма процентов за весь срок равна 9 Т 77 я = 1 *®®® млн ру ^"

Реинвестирование по простым ставкам. В практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока. Фактически это означает реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или переменной ставок. Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае

5= (1 + Vi)0 + * 2 У-0 + *А)-.

Где i t - размер ставок, по которым производится реинвестирование.

Если промежуточные сроки начисления и ставки не изменяются во времени, то вместо (2.6) имеем

5= F\\ + *,)«, где т - количество повторений реинвестирования.

(2.7)

ПРИМЕР 2.5. 100 млн руб. положены 1-го марта на месячный депозит под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется 3 раза?

Если начислять точные проценты (365/365), то

q-i па о *

5 = 100(1+ Ж 0 " 2И1 + збГ 0 " 2)(1+ ^°" 2) =

= 105,013 млн руб.

Начисление обыкновенных процентов (360/360) при реинве-стированиии дает

30 S = 100(1 + -z~r0,2) 3 = 105,084 млн руб.

§ 2.2. Погашение задолженности частями

Контур финансовой операции. Необходимым условием финансовой или кредитной операции в любой ее форме является сбалансированность вложений и отдачи. Понятие сбалансированности удобно пояснить на графике (см. рис. 2.2). Выдана ссуда на срок Т в размере Р. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два платежа Л, и Я 2 , а в конце срока выплачивается остаток задолженности в сумме R 3 (для нас здесь не имеет значения, какая часть этой суммы идет на выплату процентов, а какая - на погашение долга). Очевидно, что на интервале /, задолженность возрастает (в силу начисления процентов) до величины Р { . В конце этого периода выплачивается в счет погашения задолженности сумма Л,. Долг уменьшается до К { и т.д. Заканчивается операция получением кредитором в окончательный расчет суммы R v В этот момент задолженность должна быть равна нулю. Назовем такой график контуром операции (рис. 2.2, б).

Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур. Иначе говоря, последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности. В этом случае совокупность платежей точно соответствует условиям сделки. Контур операции будет применяться ниже в методических целях при анализе ряда финансовых операций.

Частичные платежи. Краткосрочные обязательства иногда погашаются с помощью ряда промежуточных платежей. В этом

р 1	гг. Но h	k
а	1 l	"

Рис. 2.2

случае надо решить вопрос о том, какую сумму надо брать за базу для расчета процентов и каким путем определять остаток задолженности. Существуют два метода решения этой задачи. Первый, который применяется в основном в операциях со сроком более года, называют актуарным методом (Actuarial method). Второй метод назван правилом торговца (Merchant"s Rule). Он используется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года. Если иное не оговорено, то при начислении процентов в обоих методах используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней (360/360).

Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница (остаток) идет на погашение основной суммы долга. Непогашенным остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Поступление приплюсовывается к следующему платежу. Для случая, показанного на рис. 2.2, получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности (К)

К х - Р(\ + /,0 - Л,; К 2 = *,2 0 - R T

(2.8)

Задолженность на конец срока должна быть полностью погашена. Таким образом,

К 2 (\ + / 3 0 - Л, = 0.

ПРИМЕР 2.6. Имеется обязательство погасить за 1,5 года (с 12.03.1999 по 12.09.2000 г.) долг в сумме 15 млн руб. Кредитор согласен получать частичные платежи. Проценты начисляются по ставке 20% годовых. Частичные поступления характеризуются следующими данными (в тыс. руб.):

г.-500;
г.-5000; 30.06.2000 г. - 8000; 12.09.2000 г.-?

Решение представим в следующей последовательной записи:

12.03.1999 долг 12.06.1999 долг с процентами поступление

-500

(Поскольку поступившая сумма меньше начисленных процен-тов(750), то она присоединяется к следующему поступлению.)

12.06.2000 долг с процентами 18 750

Поступления 500+5000 -5 500

Остаток долга 13 250

30.06.2000 долг с процентами 13 382,5

Поступление 8000 -8 000

Остаток долга 5 382,5

12.09.2000 долг с процентами 5 597,8

Контур данной операции представлен на рис. 2.3.

15,75_

5,5 13,3825

V^l 5,5978

12.03.99

12.09.2000

Рис. 2.3

Иной подход предусматривается правилом торговца. Здесь возможны два варианта. Если срок ссуды не превышает год, то сумма долга с процентами остается неизменной до полного погашения. В свою очередь накапливаются частичные платежи с начисленными на них до конца срока процентами. Последний взнос должен быть равен разности этих сумм. В случае, когда срок превышает год, указанные выше расчеты делаются для го-

дового периода задолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году. Алгоритм можно записать следующим образом:

0=5- К= Р(1 +ш)-2Л,(1 + /)/,),

(2.9)

где Q - остаток долга на конец срока или года, S - наращенная сумма долга, К- наращенная сумма платежей, Л - сумма частичного платежа, п - общий срок ссуды, t - интервал времени от момента платежа до конца срока ссуды или года.

Графическое изображение такой операции при выплате двух промежуточных платежей охватывает два параллельных контура (см. рис. 2.4). Первый характеризует наращение задолженности, второй - наращение на суммы поступлений.

Заметим, что для одних и тех же данных актуарный метод и правило торговца в общем случае дают разные результаты. Остаток задолженности по первому методу немного выше, чем по второму.

Рис. 2.4

ПРИМЕР 2.7. Обязательство (1,5 млн руб.), датированное 10.08.1999 г., должно быть погашено 10.06.2000 г. Ссуда выдана под 20% годовых. В счет погашения долга 10.12.1999 г. поступило 800 тыс. руб. Остаток долга на конец срока согласно (2.9) составит

О = 1,5(1 + ^?-0,2) - 0,8(1 + Г^-0,2) = 0,87 млн руб.

В свою очередь, при применении актуарного метода получим

О = [(1,5 + -^-0,2) - 0,8](1 + -^-0,2) = 0,88 млн руб.

§2.3. Наращение процентов в потребительском кредите

В потребительском кредите проценты, как правило, начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу уже в момент открытия кредита (flat rate of interest, add-on interest). Условие, прямо скажем, весьма жесткое для должника.

Погашение долга с процентами производится частями, обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Из сказанного следует, что наращенная сумма долга равна

5= Р(\ + ш), а величина разового погасительного платежа составит

/? = "Ј-, (2.10)

пт

где п - срок кредита в годах, т - число платежей в году.

В связи с тем что проценты здесь начисляются на первоначальную сумму долга, а его фактическая величина систематически уменьшается во времени, действительная стоимость кредита заметно превышает договорную процентную ставку. Подробнее об этом см. гл. 9, в которой, кроме того, обсуждается проблема разбиения платежей на проценты и суммы погашения основного долга. Необходимость в таком разбиении возникает при досрочном погашении задолженности.

ПРИМЕР 2.8. Кредит для покупки товара на сумму 1млн руб. открыт на три года, процентная ставка - 15% годовых, выплаты в конце каждого месяца. Сумма долга с процентами

S = 1(1 + 3 х 0,15) = 1,45 млн руб.

Ежемесячные платежи:

1450 Я = 3 "^ 2 = 40,278 тыс. руб.

§2.4. Дисконтирование

по простым процентным ставкам.

Наращение по учетной ставке

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время п, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. Такая ситуация может возникнуть, например, при разработке условий контракта. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты - дисконтом (discount) или скидкой. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем.

Термин "дисконтирование" употребляется и в более широком смысле - как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени. (Приведение может быть осуществлено на любой, в том числе промежуточный, момент времени.)

Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют современной стоимостью, или современной величиной (pre sent value), будущего платежа S, а иногда - текущей, или капи тализированной, стоимостью. Современная величина суммы денег является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения, удобно учитывать такой фактор, как время. Как будет показано далее, большинство аналитических методов основывается на определении современной величины платежей.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования - математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором - учетная ставка.

Математическое дисконтирование. Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае

формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S, при условии, что на долг начисляются проценты по ставке /? Решив (2.1) относительно Р, находим

"-ТТы- (2 ">

Напомним, что п = t/K - срок ссуды в годах.

Установленная таким путем величина Р является современной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя п лет. Дробь 1/(1 + ni) называют дисконтным, или дисконтирующим, множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

ПРИМЕР 2.9. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням? Согласно (2.11) находим

р = 310000 = 287328,59 руб.

Разность S - Р можно рассматривать не только как проценты, начисленные на Р, но и как дисконт с суммы S.

Банковский учет (учет векселей). Суть операции заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа (date of maturity) по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объеме, однако ранее указанного на нем срока.

При учете векселя применяется банковский, или коммерче ский, учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока (maturity value). При этом применяется учет ная ставка d.

Размер дисконта, или суммы учета, очевидно равен Snd; если d - годовая учетная ставка, то п измеряется в годах. Таким образом,

Р= S- Snd= S(l - nd), (2,12)

где п - срок от момента учета до даты погашения векселя.

Дисконтный множитель здесь равен (1 - nd). Из формулы (2.12) вытекает, что при п > \/d величина дисконтного множителя и, следовательно, суммы Р станет отрицательной. Иначе говоря, при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или даже отрицательной сумме Р, что лишено смысла. Например, при d = 20% уже пятилетний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе К = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным, АСТ/360.

ПРИМЕР 2.10. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн руб. с уплатой 17.11.2000. Владелец векселя учел его в банке 23.09.2000 по учетной ставке 20% (АСТ/360). Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Полученная при учете сумма (без уплаты комиссионных) равна

Р = 1000000(1 - -^Цг 0,2) = 969444,4 руб.

Дисконт составит 30555,6 руб.

Дополним условия примера. Пусть на всю сумму долга теперь начисляются проценты по ставке простых процентов / = 20,5% годовых. В этом случае, очевидно, надо решить две задачи: определить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете. Оба последовательных действия можно представить в одной формуле

Р" = Р(1 + л/)(1 -n"d),

где п - общий срок обязательства, п " - срок от момента учета до погашения.

Пусть в данном примере п = 120/360, тогда

Р " = 1 000 000(1 + -^=Ј- 0,205)(1 - -^г 0,2) = 1 035 690 руб.
Зои Зои

Разумеется, дисконт, как скидка с конечной суммы долга, необязательно определяется через ту или иную процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде фиксированной величины для всего срока. Однако, размер ставки неявно всегда имеется ввиду.

Множитель наращения здесь равен 1/(1 - nd). Наращение не пропорционально ни сроку, ни ставке. Заметим, что при п> \/d расчет лишен смысла, так как наращенная сумма становится бесконечно большим числом. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современная величина платежа больше нуля.

ПРИМЕР 2.11. По данным примера 2.2 определим наращенную сумму при условии, что проценты начисляются по простой учетной ставке d = 18%:

S = 1 000 000 - = 1148105,62 руб.

1 -Ц|0,18 360

§2.5. Прямые и обратные задачи

при начислении процентов

и дисконтировании по простым ставкам

Как было показано выше, оба вида ставок (наращения и дисконтирования) применяются для решения сходных задач. Однако для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной - дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная - в наращении.

Очевидно, что рассмотренные два метода наращения и дис контирования - по ставке наращения / и учетной ставке d - приводят к разным результатам даже тогда, когда / = d.

34

Заметим, что учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Влияние этого фактора усиливается при увеличении величины ставки. Для иллюстрации сказанного на рис.2.5 и в табл. 2.1 приведены дисконтные множители (ДМ) для случая, когда / = d = 20%.

ДМ ^	,
1
		/
0,833		^d
0,8		^d	->

Рис. 2.5

Таблица 2.1

Дисконтные множители, i - d » 20%

Вид			Срок в годах
ставки	1/12	1/4	1/2	1	2	10
/ d	0,9836 0,9833	0,9524 0,9500	0,9091 0,9000	0,8333 0,8000	0,7143 0,6000	0,3333

Рис. 2.6

Сравнивая формулы (2.1) и (2. 13), легко понять, что учетная ставка дает более быстрый рост суммы задолженности, чем такой же величины ставка наращения. Множители наращения (МН) для двух видов ставок при условии, что / = d = 20%, показаны на рис. 2.6 и в табл. 2.2.

Таблица 2.2

	Множители		наращения,	/ = d = 20%
Вид	Срок в годах
ставки	1/12	1/4	1/2	1	2	10
d	1,0167 1,0169	1,0500 1,0526	1,1000 1,1111	1,2000 1,2500	1,4000 1,6667	3 00

Из сказанного выше следует, что выбор конкретного вида процентной ставки заметно влияет на финансовые итоги операции. Однако возможен такой подбор величин ставок, при котором результаты наращения или дисконтирования будут одинаковыми. Такие ставки называются эквивалентными. Проблема эквивалентности процентных ставок рассматривается в гл. 3.

§2.6. Определение срока ссуды и величины процентной ставки

При разработке условий контрактов или их анализе и сравнении возникает необходимость в решении ряда, если так можно назвать, вторичных задач - определении срока ссуды и размера процентной ставки в том или ином ее виде при всех прочих заданных условиях.

Срок ссуды. Необходимые для расчета продолжительности ссуды в годах и днях формулы получим, решив (2.1) и (2.12) относительно п.

Срок в годах:

„ S- Р - S/ Р- 1
Pi i

_ S- Р „ 1 - Р/ S

Sd d

Срок в днях (напомним, что п = t/K, где К - временная ба-

«- S-P

Pi
(2.16)

" Sd К

(2.17)

ПРИМЕР 2.12. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 100 тыс. руб., вырос до 120 тыс. руб. при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (ACT/ACT)? По формуле (2.16) находим

(= 120-100 365 = 292 дня.
100 х 0.25 Д

Величина процентной ставки. Необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении финансовой эффективности операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны. Решив выражения (2.1) и (2.12) относительно / или d, получим искомые формулы для сроков, измеренных в годах и

i"-^T"-^jr 11 " (218)

d - 1 %r- A ir K

ПРИМЕР 2.13. В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 110 тыс. руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга 90 тыс. руб. (АСТ/360). Как видим, здесь не оговорен уровень процентной ставки. Необходимо определить доходность ссудной операции для кредитора в виде ставки процента и учетной ставки. По формулам (2.18) и (2.19) находим

" = ll°^on 36 Q = 0,666(6), или 66,67%, 90 х 120

d = Л!?"^ 360 = 0,5454, или 54,54%. 110 х 120

Иногда размер дисконта фиксируется в договоре в виде процента скидки (общей учетной ставки) d" за весь срок ссуды. В этом случае

Р= 5(1 - d").

Имея в виду, что Р = S / (1 + /и), находим

d" i =

Годовая учетная ставка находится элементарно:

d=d" I n.

ПРИМЕР 2.14. Стороны договорились о том, что из суммы ссуды, выданной на 210 дней, удерживается дисконт в размере 12%. Необходимо определить цену кредита в виде годовой ставки простых процентов и учетной ставки { К = 360):

/ = oin ° " 12 = 0,23376, или 23,38%,

^-И -0,12) 360

d = o^lL » = 0,20571, или 20,57%. 210/360

§ 2.7. Конверсия валюты и наращение процентов

Рассмотренные выше методы наращения процентов позволяют перейти к обсуждению более сложных и важных в практическом отношении задач. Остановимся на одной из них. Речь пойдет о совмещении операций конверсии (обмена) валюты и наращения процентов.

При возможности обмена рублевых средств на СКВ и обратной конверсии целесообразно сравнить доходы от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты и опосредованно через другую валюту. Сказанное относится и к получению дохода от СКВ при ее обмене на рубли, депонировании и обратной конверсии.

Возможны четыре варианта для наращения процентов с конверсией денежных ресурсов и без нее:

без конверсии: СКВ -* СКВ;

с конверсией: СКВ - Руб - Руб - СКВ;

без конверсии: Руб -* Руб;

с конверсией: Руб - СКВ - СКВ - Руб.

Варианты с конверсией показаны на рис.2.7.

Р(СКВ) /. S(CKB) Р(руб.) /. S(py6.)

I , t * , t

Р(руб.) *- S(py6.) P(CKB) "-+> S(CKB)

а б

Рис. 2.7

В операции наращения с конверсией валют существует два источника дохода - изменение курса и наращение процентов, причем, если второй из них безусловный (так как ставка процента фиксирована), то этого нельзя сказать о первом источнике. Более того, двойное конвертирование валюты (в начале и конце операции) может быть при неблагоприятных условиях убыточным. Решим в связи с этим две задачи. Определим сумму в конце операции и ее доходность для двух вариантов операции с конверсией.

Вариант СКВ -* Руб -* Руб -* СКВ. Проанализируем сначала вариант я, показанный на рис. 2.7. Примем обозначения:

P v - сумма депозита в СКВ,

Р г - сумма депозита в рублях,

S v - наращенная сумма в СКВ,

S r - наращенная сумма в рублях,

А^ - курс обмена в начале операции (курс СКВ в рублях),

К { - курс обмена в конце операции,

п - срок депозита,

/ - ставка наращения для рублевых сумм,

j - ставка наращения для конкретного вида СКВ.

Операция предполагает три шага: обмен валюты на рубли, наращение процентов на эту сумму и, наконец, конвертирование в исходную валюту. Конечная (наращенная) сумма в валюте определяется как

S v = />Л (1 + ni) -jL. (2.20)

Три сомножителя этой формулы соответствуют трем перечисленным выше шагам. Множитель наращения т с учетом двойного конвертирования здесь имеет вид

M = A (1+m)= J_^. (2.21)

Взаимодействие двух факторов роста исходной суммы в этой формуле представлено наиболее наглядно. С ростом ставки множитель наращения линейно увеличивается, в свою очередь, рост конечного курса обмена уменьшает его.

ПРИМЕР 2.15. Предполагается поместить 1000 долл. на рублевом депозите. Курс продажи на начало срока депозита 26,08 руб. за $1, курс покупки доллара в конце операции 26,45 руб. Процентные ставки: / = 22%; у = 15% (360/360). Срок депозита - 3 месяца.

26,08 з 22

S„ = Ю00 х -^Г(1 + -Ј- х ^) = 104 0,2 долл.

-■-(1 + - х -==-* = 26,45 v 12 100

В свою очередь прямое наращение исходной долларовой суммы по долларовой ставке процента дает

S v = 1000(1 + 0,25 х 0,15) = 1037,5 долл.

Продолжим анализ и поставим перед собой вторую задачу - измерим доходность операции в целом. В качестве измерителя доходности за срок операции примем простую годовую ставку процента / э. Эта ставка характеризует рост суммы P v до величины 5 V:

S -Р

/ = у у

Подставим в эту формулу значение S v , полученное из (2.20). После несложных преобразований имеем

"э =

-§41 + Л0 " 1 А 1

, т - 1

/ Л = -::-

Данное выражение позволяет сделать ряд заключений, которые удобно получить, обратившись к графику (см. рис. 2.8). Введем величину, характеризующую отношение последнего и первого курсов валюты:

С увеличением к эффективность операции падает. При к = 1 параметр / э = /, при к > 1 параметр / э а на оси к), наконец, при самой благоприятной для владельца денег ситуации (к 1) имеем /_ > /.

Вариант Руб -* СКВ -* СКВ -* Руб. В этом варианте (см. рис. 2.7, б) трем шагам операции соответствуют три сомножителя формулы

5 Г = A(i + nj) K x = Р г {\ + Л у)А

(2.22)

Как и в предыдущем варианте, множитель наращения линейно зависит от ставки, но теперь ставки процента для СКВ. Очевидно, что зависимости этого множителя от конечного курса или его темпа роста также линейные.

ПРИМЕР 2.16. Допустим, необходимо поместить на валютном депозите сумму в рублях (1 млн). Остальные условия - из примера 2.15. Наращенная сумма в рублях к концу срока составит:

26 45 S, = 1000 х (1 + 0,25 х 0,15)-^^- = 1052,2 тыс. руб.

Прямое инвестирование в рублевый депозит дает больше: S r = 1000 х (1 + 0,25 х 0,22) = 1055 тыс. руб.

Перейдем теперь к анализу эффективности операции. Доходность операции определяется как

откуда

S - Р " э ~ Р г п "

+ nj) - 1 \/п = (*(1 + nj) - \)/n. (2.23)

Зависимость показателя эффективности от к, как видим, линейная. При к = 1 / э =j (см. рис. 2.9), при Ј > 1 / э >у, наконец, при Л к = к" = \/(\ + лу), операция не принесет никакого дохода: / э

".А

Глава 3 СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

§3.1. Начисление сложных годовых процентов

Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты (compound interest). База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной - она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления {running period). Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став- ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам:

Р - первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т.д.),

S - наращенная сумма на конец срока ссуды,

п - срок, число лет наращения,

/ - уровень годовой ставки процентов, представленный десятичной дробью.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма составит Р + Pi = Р(\ + /). К концу второго года она достигнет величины Р(\ + /) + Р(1 + /)/" = = Р(\ + О 2 и т.д. В конце л-го года наращенная сумма будет равна

S= P(\ + i) n .

(3.1)

Проценты за этот же срок в целом таковы:

/= S- Р = P[(l + i) n - 1]. (3.2)

1.6. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Рост по учетной ставке

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S , которую следует уплатить через некоторое время n , необходимо определить сумму полученной ссуды Р. Такая ситуация может возникнуть, например, при разработке условий контракта. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты - дисконтом (discount). Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем.

Термин "дисконтирование" употребляется и в более широком смысле - как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени. (Строго говоря, приведение может быть осуществлено на любой момент времени.)

Величину Р , найденную с помощью дисконтирования, называют современной величиной (present value) суммы S , a иногда, в зависимости от контекста, - современной (текущей, капитализированной) стоимостью. Современная величина суммы денег является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения учитывается такой фактор, как время. Как будет показано далее, большинство аналитических методов основывается на определении современной величины платежей.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования - математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка наращения, во втором - учетная ставка.

Математическое дисконтирование. Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i ? Решив уравнение (1.1) относительно Р, находим:

Напомним, что п = t / K - срок ссуды в годах. Установленная таким путем величина Р является современной величиной суммы S , которая будет выплачена спустя п лет. Дробь 1/(1 + ni ) называют дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

Разность S - Р можно рассматривать не только как проценты, начисленные на Р, но и как дисконт с суммы S . Обозначим последний символом D .

Пример 1.8. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?

Согласно формуле (1.7) находим:

руб.

Дисконт равен: D = 310000 - 287328,59 = 22 671,41 руб.

Разумеется, дисконт как скидка с конечной суммы долга необязательно определяется через процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде абсолютной величины для всего срока.

Банковский учет (учет векселей). Суть операции заключается в следующем. Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа (date of maturity) по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. В свою очередь владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги, хотя и не в полном объеме, однако раньше указанного на нем срока. При учете векселя применяется банковский, или коммерческий, учет (bank discount). Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока (maturity value). При этом применяется учетная ставка d .

Размер дисконта, или суммы учета, очевидно, равен Snd ; если d - годовая ставка, то п измеряется в годах. Таким образом:

P = S - Snd = S (1 - nd ), (1.8)

где п - срок от момента учета до даты погашения векселя.

Дисконтный множитель здесь равен (1 - nd ).

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе K = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным.

Пример 1.9. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн. руб. с уплатой 17 ноября 1995 г. Владелец векселя учел его в банке 23 сентября 1995 г. по учетной ставке 20%. Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Полученная при учете сумма (без уплаты комиссионных) равна

руб.

Дисконт составит 30 555,6 руб.

Продолжим пример. Пусть на первоначальную сумму долга (1 млн. руб.) начисляются проценты по ставке простых процентов i = 20,5% годовых. В этом случае, очевидно, надо решить две задачи: определить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете. Оба последовательных действия можно представить в одной формуле:

Р" = Р (1 + ni )(1 - n " d ),

где п - общий срок обязательства,

n " - срок от момента учета до погашения.

Пусть в данном примере п = 120/360, тогда

Множитель наращения здесь равен 1/(1 - nd ). Заметим, что при п > 1/ d расчет лишен смысла, так как наращенная сумма становится бесконечно большим числом.

Пример 1.10. По данным примера 1.2 определим наращенную сумму при условии, что проценты начисляются по простой учетной ставке d = 18%.

krymalliance.ru

Кредит на покупку квартиры

Подбор параметра для вычисления суммы кредита

Подбор параметра для вычисления срока погашения кредита

Подбор параметра для вычисления процентной ставки

n1.doc